I. Définitions
Un oscillateur mécanique est un système qui effectue un mouvement périodique autour de sa position d'équilibre stable.
| Grandeur | Symbole | Unité | Définition |
|---|
| Période | T | s | Durée d'une oscillation complète |
| Fréquence | N (ou f) | Hz | Nombre d'oscillations par seconde : N = 1/T |
| Pulsation | ω | rad/s | ω = 2πN = 2π/T |
| Amplitude | Xm | m | Élongation maximale |
II. Pendule Élastique Horizontal
1. Équation différentielle
Masse m reliée à un ressort de raideur k, sans frottement :
mẍ + kx = 0 ⟺ ẍ + (k/m)·x = 0
2. Solution (équation horaire)
x(t) = Xm·cos(ω₀t + φ)
v(t) = −ω₀·Xm·sin(ω₀t + φ)
3. Grandeurs caractéristiques
| Grandeur | Expression |
|---|
| Pulsation propre | ω₀ = √(k/m) [rad/s] |
| Période propre | T₀ = 2π/ω₀ = 2π√(m/k) [s] |
| Fréquence propre | N₀ = 1/T₀ [Hz] |
| Vitesse maximale | Vm = ω₀·Xm |
4. Détermination de Xm et φ
À t = 0 :
• x(0) = Xm·cos φ
• v(0) = −ω₀·Xm·sin φ
On utilise les conditions initiales pour trouver Xm et φ.
III. Étude Énergétique
1. Énergie potentielle élastique
Epe = ½·k·x² = ½·k·Xm²·cos²(ω₀t + φ)
2. Énergie cinétique
Ec = ½·m·v² = ½·k·Xm²·sin²(ω₀t + φ)
3. Énergie mécanique
Em = Ec + Epe = ½·k·Xm² = constante
Conservation de l'énergie mécanique :
Em = ½·k·Xm² = ½·m·Vm² = ½·m·ω₀²·Xm²
À la position d'équilibre (x = 0) : Ec = max, Epe = 0
Aux extrémités (x = ±Xm) : Ec = 0, Epe = max
IV. Résumé
| Propriété | Oscillateur harmonique (sans amortissement) |
|---|
| Trajectoire | Rectiligne, entre −Xm et +Xm |
| Mouvement | Sinusoïdal (harmonique) |
| Amplitude | Constante |
| Énergie mécanique | Conservée |
| Période | Indépendante de l'amplitude |
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