I. Définition de l'intégrale
Si f est continue sur un intervalle K, a et b dans K, et F une primitive de f, alors l'intégrale de a à b de f est F(b)−F(a).
∫ab f(x)dx = [F(x)]ab = F(b)−F(a)
- a et b sont les bornes de l'intégrale.
- x est une variable muette : on peut la remplacer par t, u, etc.
- ∫aa f(x)dx=0.
- ∫ab f(x)dx=−∫ba f(x)dx.
II. Interprétation graphique
Si f est continue et positive sur [a,b], alors ∫ab f(x)dx représente l'aire sous la courbe de f entre x=a et x=b.
III. Propriétés algébriques
| Propriété | Formule |
|---|
| Relation de Chasles | ∫abf = ∫acf + ∫cbf |
| Linéarité | ∫(f+g)=∫f+∫g |
| Multiplication par un réel | ∫αf=α∫f |
IV. Propriétés de comparaison
- Si f≥0 sur [a,b], alors ∫abf(x)dx≥0.
- Si f≤g sur [a,b], alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.
Si m≤f≤M sur [a,b], alors m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
Si |f|≤M, alors |∫abf(x)dx|≤M(b−a)
V. Valeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a,b] est la hauteur du rectangle ayant la même aire que l'aire sous la courbe.
μ = 1/(b−a) ∫ab f(x)dx
VI. Techniques de calcul
1. Utilisation directe de primitives
On reconnaît une primitive de la fonction, puis on applique F(b)−F(a).
∫ u'/u dx = ln|u| + c ; ∫ u'eᵘ dx = eᵘ + c
2. Intégration par parties
∫ab u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u'(x)v(x)dx
Elle est utile lorsqu'une intégrale contient un produit, par exemple x²ln x, x eˣ, etc.
VII. Méthode générale
- Vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle.
- Choisir la bonne technique : primitive directe, forme composée, linéarité, Chasles ou intégration par parties.
- Calculer une primitive F.
- Évaluer F(b)−F(a).
- Interpréter si nécessaire en aire ou valeur moyenne.
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