I. Suites arithmétiques et géométriques
| Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|
| Définition | uₙ₊₁=uₙ+r | vₙ₊₁=qvₙ |
| Raison | r | q |
| Formule explicite | uₙ=u₀+nr | vₙ=v₀qⁿ |
| Depuis un rang p | uₙ=uₚ+(n−p)r | vₙ=vₚqⁿ⁻ᵖ |
II. Sommes de termes consécutifs
Suite arithmétique : uₚ+...+uₙ=(n−p+1)(uₚ+uₙ)/2
Suite géométrique (q≠1) : vₚ+...+vₙ=vₚ(1−qⁿ⁻ᵖ⁺¹)/(1−q)
III. Raisonnement par récurrence
La récurrence sert à démontrer une propriété dépendant d'un entier naturel n.
- Initialisation : vérifier la propriété au premier rang n₀.
- Hérédité : supposer vraie au rang k et prouver vraie au rang k+1.
- Conclusion : la propriété est vraie pour tout n≥n₀.
IV. Sens de variation d'une suite
| Critère | Conclusion |
|---|
| uₙ₊₁−uₙ ≥ 0 | (uₙ) croissante |
| uₙ₊₁−uₙ ≤ 0 | (uₙ) décroissante |
| uₙ>0 et uₙ₊₁/uₙ ≥ 1 | (uₙ) croissante |
| uₙ>0 et uₙ₊₁/uₙ ≤ 1 | (uₙ) décroissante |
Si uₙ=f(n), on peut aussi étudier les variations de la fonction f.
V. Suites majorées, minorées, bornées
- Majorée : il existe M tel que uₙ≤M pour tout n.
- Minorée : il existe m tel que uₙ≥m pour tout n.
- Bornée : à la fois majorée et minorée.
VI. Convergence
Une suite est convergente si elle admet une limite finie. Sinon elle est divergente.
- Si une limite existe, elle est unique.
- Si uₙ=f(n) et limx→+∞ f(x)=ℓ, alors limn→+∞ uₙ=ℓ.
lim nᵅ=+∞ si α>0 ; lim 1/nᵅ=0 si α>0
VII. Suites monotones
| Situation | Conclusion |
|---|
| Suite croissante et majorée | Convergente |
| Suite décroissante et minorée | Convergente |
| Suite croissante non majorée | Diverge vers +∞ |
| Suite décroissante non minorée | Diverge vers −∞ |
VIII. Limites de suites usuelles
| Suite | Limite |
|---|
| aⁿ avec −1<a<1 | 0 |
| aⁿ avec a=1 | 1 |
| aⁿ avec a>1 | +∞ |
| aⁿ avec a≤−1 | Pas de limite |
| nᵅ avec α>0 | +∞ |
| nᵅ avec α<0 | 0 |
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