I. Affixe d'un point et d'un vecteur
Dans le plan complexe, à tout point M correspond un nombre complexe z appelé affixe de M.
- Si A a pour affixe zA et B pour affixe zB, alors l'affixe du vecteur AB est zB−zA.
- La distance AB vaut |zB−zA|.
II. Angle orienté et argument
Pour A≠B et C≠D :
arg((zA−zB)/(zC−zD)) est une mesure de l'angle orienté (DC ; BA)
Un argument se détermine à partir de la forme trigonométrique : z=r(cos θ+i sin θ).
III. Distance et module d'un quotient
|(zA−zB)/(zC−zD)| = AB/CD
Cette formule permet de traduire une égalité de modules en égalité ou rapport de distances.
IV. Ensembles de points usuels
| Caractérisation complexe | Interprétation géométrique |
|---|
| |z−zA|=r | Cercle de centre A et de rayon r |
| |z−zA|=|z−zB| | Médiatrice de [AB] |
| |z−zA|=λ|z−zB|, λ≠1 | Cercle d'Apollonius |
| arg((zB−z)/(zA−z))=kπ | Droite (AB) privée de A et B |
| arg((zB−z)/(zA−z))=π/2+kπ | Cercle de diamètre [AB] privé de A et B |
| arg(z−zA)=α+kπ | Droite passant par A de direction α |
| arg(z−zA)=α+2kπ | Demi-droite d'origine A de direction α |
V. Méthode pour déterminer un ensemble de points
- Identifier la forme complexe donnée.
- Transformer si nécessaire l'expression pour obtenir z−zA ou un quotient.
- Traduire les modules en distances et les arguments en angles.
- Donner l'ensemble géométrique en précisant les points exclus.
VI. Applications fréquentes
- Montrer que deux segments ont même longueur : comparer des modules.
- Montrer que deux droites sont perpendiculaires : montrer qu'un angle vaut π/2 modulo π.
- Montrer qu'un triangle est rectangle : utiliser le cercle de diamètre ou un argument égal à π/2.
- Montrer qu'un point appartient à un cercle : écrire une égalité de distances.
VII. À retenir
Le pont essentiel est : module = distance et argument = angle orienté. Toute la géométrie complexe repose sur cette traduction.
Créé par Haniel_dev