I. Fonction exponentielle népérienne
La fonction exponentielle, notée exp ou x↦eˣ, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.
eˣ=y ⇔ x=ln y, avec y>0
- La fonction exponentielle est définie sur ℝ.
- Pour tout x∈ℝ, eˣ>0.
- e⁰=1 et e¹=e.
- eln x=x pour x>0 ; ln(eʸ)=y pour y∈ℝ.
- Elle est strictement croissante sur ℝ.
II. Propriétés algébriques
| Pour a,b∈ℝ | Formule |
|---|
| Produit | eᵃeᵇ=eᵃ⁺ᵇ |
| Inverse | e⁻ᵇ=1/eᵇ |
| Quotient | eᵃ/eᵇ=eᵃ⁻ᵇ |
| Puissance | (eᵃ)ʳ=eᵃʳ |
III. Équations et inéquations
eᵃ=eᵇ ⇔ a=b
eᵃ<eᵇ ⇔ a<b
Pour les équations du type e²ˣ + eˣ − 6 = 0, on pose souvent X=eˣ avec X>0.
Après résolution en X, on rejette toute solution X≤0, puis on revient à x avec x=ln X.
IV. Limites de référence
limx→−∞ eˣ=0 ; limx→+∞ eˣ=+∞
limx→−∞ x eˣ=0 ; limx→+∞ eˣ/x=+∞
limx→0 (eˣ−1)/x = 1
V. Dérivée et primitive
(eˣ)'=eˣ
(eu(x))'=u'(x)eu(x)
Une primitive de u'(x)eu(x) est eu(x)+c
VI. Fonction exponentielle de base a
Pour a>0, la fonction exponentielle de base a est x↦aˣ.
aˣ=ex ln a
| Cas | Variation |
|---|
| a>1 | aˣ est strictement croissante |
| 0<a<1 | aˣ est strictement décroissante |
| a=1 | aˣ=1 constante |
VII. Fonctions puissances
Pour α réel, la fonction puissance est généralement définie par x↦xᵅ sur ]0 ; +∞[.
xᵅ=eα ln x, x>0
(xᵅ)'=αxα−1
Les fonctions puissances servent à étudier des modèles de croissance ou décroissance non linéaires.
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