I. Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de x ↦ 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1.
Domaine : ]0 ; +∞[ ; ln(1)=0 ; (ln x)'=1/x
Comme 1/x > 0 sur ]0 ; +∞[, la fonction ln est strictement croissante.
II. Propriétés algébriques
| Pour a>0, b>0 | Formule |
|---|
| Produit | ln(ab)=ln a + ln b |
| Inverse | ln(1/b)=−ln b |
| Quotient | ln(a/b)=ln a − ln b |
| Puissance | ln(aʳ)=r ln(a), r∈ℚ |
| Racine carrée | ln(√a)=½ ln(a) |
III. Équations et inéquations
Toujours commencer par l'ensemble de validité : les expressions dans ln doivent être strictement positives.
ln a = ln b ⇔ a=b (a,b>0)
ln a < ln b ⇔ a<b (car ln est strictement croissante)
- ln x=0 ⇔ x=1
- ln x<0 ⇔ 0<x<1
- ln x≥0 ⇔ x≥1
IV. Le nombre e
Le nombre e est l'unique réel de ]2 ; 3[ tel que ln(e)=1.
e ≈ 2,718 ; ln(eʳ)=r
V. Méthodes de résolution
| Type | Méthode |
|---|
| ln u(x)=m | u(x)>0 puis u(x)=eᵐ |
| ln u(x)=ln v(x) | u>0, v>0 puis u(x)=v(x) |
| ln u(x)≥ln v(x) | u>0, v>0 puis u(x)≥v(x) |
| a(ln x)²+b ln x+c=0 | Poser X=ln x, résoudre en X, puis revenir à x=eˣ |
VI. Étude de la fonction ln
limx→+∞ ln x = +∞ ; limx→0⁺ ln x = −∞
L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de ln.
limx→+∞ (ln x)/x = 0
limx→1 ln x/(x−1)=1 ; limx→0⁺ x ln x=0 ; limx→0 ln(1+x)/x=1
VII. Tangente et inégalité fondamentale
La tangente à la courbe de ln au point d'abscisse 1 a pour équation :
y = x − 1
Pour tout x>0 : ln x ≤ x−1.
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