I. Notion de primitive
Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F'(x)=f(x) pour tout x de I.
F est une primitive de f sur I ⇔ F'=f sur I
La recherche d'une primitive est l'opération inverse de la dérivation.
II. Existence et ensemble des primitives
- Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
- Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives sont de la forme F(x)+c, avec c∈ℝ.
- Une condition initiale F(x₀)=y₀ détermine une primitive unique.
Toutes les primitives : x ↦ F(x)+c
III. Primitives usuelles
| Fonction f(x) | Primitive F(x) |
|---|
| a | ax+c |
| xʳ (r≠−1) | xʳ⁺¹/(r+1)+c |
| 1/x² | −1/x+c |
| 1/√x | 2√x+c |
| cos x | sin x+c |
| sin x | −cos x+c |
| 1/cos²x | tan x+c |
| 1/sin²x | −cotan x+c |
IV. Opérations
Primitive de u+v : U+V
Primitive de ku : kU
On décompose souvent une fonction en somme de fonctions simples pour trouver ses primitives.
V. Primitives de formes composées
| Forme de f | Une primitive | Condition |
|---|
| u'·uʳ | uʳ⁺¹/(r+1) | r≠−1 |
| u'/uʳ | −1/[(r−1)uʳ⁻¹] | r≠1, u>0 |
| u'/√u | 2√u | u>0 |
| u'cos u | sin u | — |
| u'sin u | −cos u | — |
La clé est de reconnaître la dérivée u' de la fonction intérieure u.
VI. Fonctions trigonométriques affines
∫ cos(ax+b) dx = (1/a) sin(ax+b)+c, a≠0
∫ sin(ax+b) dx = −(1/a) cos(ax+b)+c, a≠0
VII. Primitive avec condition initiale
- Trouver une primitive générale F(x)+c.
- Utiliser la condition donnée : F(x₀)+c=y₀.
- Résoudre pour c.
- Écrire la primitive particulière.
VIII. Application à la modélisation
Les primitives permettent de retrouver une fonction à partir de sa dérivée. Dans un problème concret, on utilise ensuite une donnée connue pour déterminer la constante d'intégration.
Exemple-type : si C'(v) est connue et C(60)=25, on intègre C'(v), puis on utilise C(60)=25 pour trouver la constante.
Créé par Haniel_dev