I. Dérivabilité à gauche et à droite
Le nombre dérivé mesure la pente de la tangente à la courbe en un point.
f'₍g₎(x₀)=limx→x₀⁻ [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀)
f'₍d₎(x₀)=limx→x₀⁺ [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀)
Ces limites, lorsqu'elles existent et sont finies, donnent les coefficients directeurs des demi-tangentes.
II. Dérivabilité en un point
f dérivable en x₀ ⇔ f est dérivable à gauche et à droite en x₀ et f'₍g₎(x₀)=f'₍d₎(x₀)
Si une des deux limites est infinie, la courbe peut admettre une demi-tangente verticale, et f n'est pas dérivable au sens usuel.
III. Dérivabilité d'une bijection réciproque
Soit f dérivable et strictement monotone sur K. Si y₀=f(x₀) et f'(x₀)≠0, alors f⁻¹ est dérivable en y₀.
(f⁻¹)'(y₀)=1/f'(x₀)=1/f'(f⁻¹(y₀))
- Trouver x₀ tel que f(x₀)=y₀.
- Calculer f'(x₀).
- Vérifier f'(x₀)≠0.
- Appliquer la formule.
IV. Dérivées successives
| Notation | Signification |
|---|
| f' | Dérivée première |
| f'' | Dérivée seconde |
| f⁽ⁿ⁾ | Dérivée d'ordre n |
Les dérivées successives servent notamment à analyser la courbure, les variations et certains développements.
V. Inégalités des accroissements finis
Si m ≤ f'(x) ≤ M sur [a,b], alors m(b−a) ≤ f(b)−f(a) ≤ M(b−a)
Si |f'(x)|≤M sur I, alors |f(b)−f(a)|≤M|b−a|
Ces résultats permettent d'encadrer des différences de valeurs sans calculer directement les valeurs exactes.
VI. Étude de fonction : méthode
- Déterminer le domaine de définition.
- Étudier les limites aux bornes du domaine.
- Étudier la continuité et la dérivabilité aux points particuliers.
- Calculer la dérivée et étudier son signe.
- Dresser le tableau de variation.
- Étudier les asymptotes ou branches paraboliques.
- Tracer la courbe avec les points remarquables et tangentes.
VII. Interprétation graphique
| Résultat analytique | Interprétation |
|---|
| f'(x₀)=a | Tangente de pente a au point d'abscisse x₀ |
| f'₍g₎ ≠ f'₍d₎ | Deux demi-tangentes : point anguleux |
| Limite du taux d'accroissement infinie | Demi-tangente verticale |
| f' positive | f croissante |
| f' négative | f décroissante |
VIII. Optimisation
Pour trouver un maximum ou un minimum, on étudie le signe de f'. Un changement de signe de + vers − donne un maximum ; un changement de − vers + donne un minimum.
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