I. Probabilité conditionnelle
La probabilité de A sachant que B est réalisé mesure la chance que A se réalise lorsque l'on sait déjà que B est réalisé.
P(A/B)=PB(A)=P(A∩B)/P(B), avec P(B)≠0
P(A∩B)=P(A)P(A/B)=P(B)P(B/A)
II. Événements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.
A et B indépendants ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B)
Ne pas confondre indépendants et incompatibles : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont pas indépendants.
III. Partition et probabilités totales
Des événements B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de Ω lorsqu'ils sont deux à deux disjoints et que leur réunion vaut Ω.
P(A)=P(A∩B₁)+P(A∩B₂)+...+P(A∩Bₙ)
P(A)=Σ P(Bᵢ)P(A/Bᵢ)
Un arbre pondéré permet de représenter clairement les probabilités conditionnelles et les chemins possibles.
IV. Variable aléatoire
Une variable aléatoire X est une application qui associe un nombre réel à chaque éventualité d'une expérience aléatoire.
| Notion | Signification |
|---|
| X(Ω) | Ensemble des valeurs prises par X |
| P(X=xᵢ) | Probabilité que X prenne la valeur xᵢ |
| Loi de probabilité | Tableau associant chaque valeur xᵢ à sa probabilité pᵢ |
Dans une loi de probabilité : p₁+p₂+...+pₙ=1.
V. Espérance, variance et écart type
E(X)=Σ xᵢpᵢ
V(X)=Σ (xᵢ−E(X))²pᵢ = E(X²)−[E(X)]²
σ(X)=√V(X)
| Grandeur | Interprétation |
|---|
| Espérance | Moyenne théorique de X ; en jeu, gain moyen |
| Variance | Dispersion des valeurs autour de la moyenne |
| Écart type | Mesure concrète de dispersion, même unité que X |
VI. Jeu et espérance
- E(X)>0 : jeu avantageux pour le joueur.
- E(X)<0 : jeu désavantageux pour le joueur.
- E(X)=0 : jeu équitable.
VII. Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli possède seulement deux issues : succès S et échec. Un schéma de Bernoulli répète n fois la même épreuve de façon indépendante.
P(obtenir exactement k succès)=C(n,k)pᵏ(1−p)n−k
VIII. Loi binomiale
Si X désigne le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, alors X suit une loi binomiale.
X ~ B(n ; p) et P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)n−k
E(X)=np ; V(X)=np(1−p)
IX. Fonction de répartition
La fonction de répartition de X est F(x)=P(X≤x).
Pour une variable discrète, F est une fonction en escalier, croissante, prenant des valeurs entre 0 et 1.
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