I. Limite d'une fonction composée
Si deux fonctions s'enchaînent, la limite de la composée se calcule en suivant les limites dans l'ordre.
Si limx→a f(x)=b et limx→b g(x)=ℓ, alors limx→a (g∘f)(x)=ℓ
On identifie d'abord la fonction intérieure, puis on applique la limite de la fonction extérieure.
II. Fonction monotone et limite finie
| Situation | Conséquence |
|---|
| f croissante et majorée sur ]a ; b[ | f admet une limite finie en b, inférieure ou égale au majorant |
| f décroissante et minorée sur ]a ; b[ | f admet une limite finie en b, supérieure ou égale au minorant |
Cette propriété permet de prouver l'existence d'une limite sans connaître explicitement sa valeur.
III. Branches paraboliques
Une branche parabolique décrit le comportement d'une courbe à l'infini lorsque la fonction devient infinie.
| Condition | Direction de la branche |
|---|
| lim f(x)=±∞ et lim f(x)/x=0 | Direction de l'axe (OI) |
| lim f(x)=±∞ et lim f(x)/x=±∞ | Direction de l'axe (OJ) |
IV. Continuité
Une fonction f est continue en a lorsque sa limite en a est égale à sa valeur en a.
f continue en a ⇔ limx→a f(x)=f(a)
Sur un intervalle, une fonction est continue si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
V. Image d'un intervalle par une fonction continue monotone
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle dont les bornes se déterminent à partir des valeurs ou limites de f aux bornes de I.
- Fonction croissante : les images gardent le même ordre.
- Fonction décroissante : les images sont inversées.
- Attention aux intervalles ouverts, fermés ou semi-ouverts.
VI. Opérations sur les fonctions continues
- Si f et g sont continues sur I, alors f+g, fg, fⁿ et |f| sont continues sur I.
- Si g ne s'annule pas sur I, alors f/g est continue sur I.
- Si f est positive sur I, alors √f est continue sur I.
- Si f est continue sur I et g continue sur f(I), alors g∘f est continue sur I.
VII. Bijection et réciproque
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur f(I).
- La réciproque f⁻¹ est continue sur f(I).
- f⁻¹ a le même sens de variation que f.
- Les courbes de f et f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite y=x.
VIII. Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur I, alors toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois.
Si f est en plus strictement monotone, l'équation f(x)=m admet une unique solution.
Cas pratique : si f(a)×f(b)<0, alors l'équation f(x)=0 possède une solution entre a et b ; elle est unique si f est strictement monotone.
IX. Valeur approchée d'une solution
| Méthode | Principe |
|---|
| Balayage | Tester des valeurs avec un pas donné jusqu'à encadrer un changement de signe |
| Dichotomie | Couper l'intervalle en deux et garder la moitié où le changement de signe apparaît |
Créé par Haniel_dev