📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Définitions de base

• Mouvement oscillatoire libre : mouvement périodique d'un solide autour d'une position d'équilibre stable lorsqu'il est écarté puis laissé libre.
• Oscillateur mécanique : système mécanique (pendule, ressort + masse…) qui effectue un mouvement périodique autour de sa position d'équilibre.
• Période T : durée d'une oscillation complète (un aller-retour).
• Fréquence f ou N : nombre d’oscillations complètes par seconde :
  T = 1/N    et    ω = 2πN = 2π/T

II. Pendule élastique horizontal

On considère un solide de masse m, lié à un ressort de raideur k, pouvant glisser sans frottement sur un axe horizontal (pendule élastique).

1. Équation différentielle du mouvement

2. Solutions de l’équation différentielle

Les solutions sont de type oscillation sinusoïdale :

x(t) = X_m cos(ω₀ t + φ)    ou    x(t) = X_m sin(ω₀ t + φ)

• x(t) : élongation (position par rapport à l’équilibre) à la date t ;
• X_m : amplitude des oscillations (valeur maximale de |x|) ;
• ω₀ t + φ : phase du mouvement ;
• φ : phase initiale (phase à t = 0).

III. Caractéristiques propres de l’oscillateur

1. Pulsation, période, fréquence

Pour l’oscillateur masse–ressort :

ω₀ = √(k/m)   (rad·s⁻¹)

Période propre :

T₀ = 2π / ω₀ = 2π √(m/k)   (s)

Fréquence propre :

N₀ = 1 / T₀   (Hz)

2. Représentation de x(t) et v(t)

Si on choisit φ = 0, on a par exemple :

• x(t) = X_m cos(ω₀ t)
• v(t) = ẋ(t) = −ω₀ X_m sin(ω₀ t)

La position x(t) et la vitesse v(t) varient de façon sinusoïdale, déphasées de π/2.

IV. Étude énergétique de l’oscillateur non amorti

1. Énergie potentielle élastique

Pour une déformation x d’un ressort de raideur k :

E_pe = ½ k x² = ½ k X_m² cos²(ω₀ t + φ)

2. Énergie cinétique

Avec v(t) = ẋ(t), l’énergie cinétique vaut :

E_c = ½ m v² = ½ k X_m² sin²(ω₀ t + φ)   (en utilisant ω₀² = k/m)

3. Énergie mécanique

L’énergie mécanique est la somme :

E_m = E_c + E_pe = ½ k X_m² = ½ m v_m² = constante

Pour un oscillateur non amorti (sans forces dissipatives), l’énergie mécanique est donc :

• constante au cours du temps ;
• simplement échangée entre énergie potentielle et énergie cinétique.

V. Méthode-type d’exploitation

1. À partir des conditions initiales

On connaît généralement x(0) = x₀ et v(0) = v₀. Avec :

• x(t) = X_m cos(ω₀ t + φ)
• v(t) = −ω₀ X_m sin(ω₀ t + φ)

à t = 0 :

• x₀ = X_m cos φ
• v₀ = −ω₀ X_m sin φ

On peut alors :

• déterminer φ à partir de tan φ = −v₀ / (ω₀ x₀),
• puis X_m à partir de X_m = x₀ / cos φ.

2. Utilisation de la conservation de l’énergie

• À partir de E_m = constante, on peut calculer :
• la vitesse en un point d’abscisse x ;
• l’amplitude maximale ;
• les positions où la vitesse est nulle (x = ±X_m), etc.

VI. Oscillateur amorti (idée qualitative)

VII. À retenir

• Un oscillateur mécanique libre effectue un mouvement périodique autour d’une position d’équilibre stable.
• L’oscillateur masse–ressort vérifie l’équation différentielle ẍ + (k/m) x = 0 dont les solutions sont sinusoïdales.
• La pulsation propre, la période et la fréquence sont liées aux paramètres mécaniques m et k.
• Pour un oscillateur non amorti, l’énergie mécanique totale reste constante (échanges entre E_pe et E_c).
• En présence d’amortissement, l’énergie décroît et l’amplitude diminue au cours des oscillations.

Fiche réalisée à partir du cours « Oscillations mécaniques libres » (Physique-Chimie Terminale C, ecole-ci.org).