📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Champ uniforme

1. Exemples

• Au voisinage de la Terre, le champ de pesanteur g⃗ peut être considéré comme uniforme.
• Entre les armatures parallèles d’un condensateur plan, le champ électrique E⃗ est uniforme.

II. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

1. Conditions de lancement

• Projectile de masse m lancé à t = 0 avec une vitesse initiale v⃗₀ faisant un angle α avec l’horizontale.
• Référentiel terrestre supposé galiléen, repère (O, i⃗, j⃗, k⃗).
• Frottements de l’air négligés devant le poids P⃗ = m g⃗.

2. Accélération et équations horaires

D’après le théorème du centre d’inertie :

P⃗ = m a⃗ ⟹ a⃗ = g⃗

Dans un repère adapté (Ox horizontal, Oz vertical) :

• a⃗ : { a_x = 0 ; a_z = −g }
• v⃗ : { v_x = v₀ cos α ; v_z = −g t + v₀ sin α }
• Position :
  x(t) = (v₀ cos α) t
  z(t) = −½ g t² + (v₀ sin α) t

3. Trajectoire et hauteur maximale

En éliminant t, on obtient une parabole :

z = − g / (2 v₀² cos² α) · x² + x tan α (+ h éventuelle)

Hauteur maximale atteinte (h_max) :

h_max = v₀² sin² α / (2 g)

4. Portée

La portée est la distance horizontale entre le point de lancement et le point de chute (z = 0).

d = v₀² sin 2α / g

La portée est maximale pour α = 45°.

III. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme

1. Conditions initiales

• Particule de charge q > 0 et de masse m.
• Entre les plaques d’un condensateur plan, champ électrique uniforme E⃗.
• On néglige le poids P⃗ devant la force électrique F⃗_e = q E⃗.

2. Accélération et équations horaires

Théorème du centre d’inertie :

F⃗_e = q E⃗ = m a⃗ ⟹ a⃗ = (q/m) E⃗

Si on prend Ox horizontal (direction de v⃗₀) et Oy vertical (direction de E⃗) :

• a⃗ : { a_x = 0 ; a_y = (q/m) E ; a_z = 0 }
• v⃗ : { v_x = v₀ ; v_y = (qE/m) t ; v_z = 0 }
• Position :
  x(t) = v₀ t
  y(t) = (qE / 2m) t²

3. Trajectoire

En éliminant t entre x et y :

y = (qE / (2 m v₀²)) x²

La trajectoire est aussi une parabole, mais ici l’accélération dépend de q/m.

IV. Déviation et déflexion électrostatiques

1. Déviation angulaire α

La particule entre avec v⃗₀ horizontale et ressort avec une vitesse v⃗_S inclinée d’un angle α.

Avec t_S = ℓ / v₀ (ℓ : longueur des plaques) et les composantes de v⃗_S, on obtient :

tan α = v_Sy / v_Sx = (q E ℓ) / (m v₀²)

2. Déflexion électrostatique Y

La déflexion Y est le déplacement vertical du faisceau sur l’écran par rapport au point qu’il aurait atteint sans champ.

On trouve typiquement (notation du cours) :

Y = (q ℓ D / (m d v₀²)) · U_AB

• U_AB : tension entre les plaques du condensateur,
• d : distance entre les plaques,
• D : distance plaques–écran.

On voit que Y est proportionnelle à la tension U_AB et inversement proportionnelle à v₀².

V. Idées-clés à retenir

• Un champ uniforme a les mêmes caractéristiques (direction, sens, norme) en tout point de la région considérée.
• Dans un champ de pesanteur uniforme, l’accélération vaut g⃗ et ne dépend pas de la masse du projectile.
• Le mouvement d’un projectile (sans frottements) dans g⃗ est un mouvement plan parabolique, entièrement décrit par ses équations horaires.
• Une particule chargée dans un champ électrique uniforme subit une accélération a⃗ = (q/m) E⃗ : la trajectoire est parabolique et la déviation dépend de q/m, de E et de v₀.
• Les dispositifs comme les tubes cathodiques, oscilloscopes, déflecteurs électrostatiques exploitent ces lois pour contrôler la déviation de faisceaux d’électrons.

Fiche réalisée à partir du cours « Mouvements dans les champs g⃗ et E⃗ uniformes » (Physique-Chimie Terminale C, ecole-ci.org).