📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Objet de la leçon

La cinématique du point étudie le mouvement d'un point matériel (position, vitesse, accélération) sans chercher les causes de ce mouvement. Elle fournit les outils pour décrire les différents types de mouvements (rectilignes, circulaires…).

II. Rappels essentiels

1. Référentiel et repères

• Référentiel : objet ou ensemble d'objets par rapport auquel on décrit le mouvement.
• Repère d'espace : système d'axes lié au référentiel, noté en général R(O, i⃗ , j⃗ , k⃗ ), permettant de donner les coordonnées du point mobile.
• Repère de temps : choix d'un instant origine t = 0 s servant de référence pour les dates.
• Trajectoire : ensemble des positions successives occupées par le point matériel au cours du temps.

2. Vecteur-position

Le vecteur-position OM⃗ donne la position du point matériel M dans le repère.

• Mouvement dans l'espace : OM⃗ = x i⃗ + y j⃗ + z k⃗
• Mouvement dans un plan : OM⃗ = x i⃗ + y j⃗
• Mouvement sur une droite : OM⃗ = x i⃗

Les fonctions x(t), y(t), z(t) sont les équations horaires (ou paramétriques) du mouvement.

III. Vecteur-vitesse

1. Définition

2. Expression dans un repère cartésien

Si OM⃗ = x i⃗ + y j⃗ + z k⃗, alors :

v⃗ = ẋ i⃗ + ẏ j⃗ + ż k⃗

Les composantes (ẋ, ẏ, ż) sont les dérivées des coordonnées. La valeur (norme) de la vitesse est :

v = √(ẋ² + ẏ² + ż²) (en m·s⁻¹).

3. Vitesse dans la base de Frenet

• Base de Frenet : (τ⃗, n⃗ ) liée au point M.
• τ⃗ : vecteur unitaire tangent à la trajectoire.
• n⃗ : vecteur unitaire normal, orienté vers la concavité de la trajectoire.

v⃗ = v τ⃗ avec v = ds/dt = ṡ

s est l'abscisse curviligne.

IV. Vecteur-accélération

1. Définition

2. Expression dans un repère cartésien

Si v⃗ = ẋ i⃗ + ẏ j⃗ + ż k⃗, alors :

a⃗ = ẍ i⃗ + ÿ j⃗ + z̈ k⃗

Sa valeur est :

a = √(ẍ² + ÿ² + z̈²) (en m·s⁻²).

3. Expression dans la base de Frenet

Dans la base (τ⃗, n⃗ ) :

a⃗ = a_τ τ⃗ + a_n n⃗

• a_τ = dv/dt = d²s/dt² = s̈ : accélération tangentielle (variation de la valeur de la vitesse).
• a_n = v²/ρ : accélération normale, liée à la courbure de la trajectoire (ρ : rayon de courbure).

La valeur de a⃗ vérifie : a = √(a_τ² + a_n²).

V. Étude de quelques mouvements

1. Mouvement rectiligne et uniforme (MRU)

Dans un repère (O, i⃗) :

• a = 0
• v = v₀ (constante)
• x = v₀ t + x₀

2. Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

Sur l'axe (O, i⃗) :

• v_x(t) = a_x t + v_0x
• x(t) = (1/2) a_x t² + v_0x t + x₀

Entre deux instants t₀ et t₁ :

v_1x² − v_0x² = 2 a_x (x₁ − x₀)

3. Mouvement circulaire et uniforme

a) Repérage sur le cercle

Pour un point M sur un cercle de rayon R :

• x_M = R cos θ
• y_M = R sin θ
• s = R θ : abscisse curviligne.

b) Vitesse et accélération

• Vitesse : v⃗ = v τ⃗ avec v = R ω (ω : vitesse angulaire).
• Accélération : purement normale et centripète : a⃗ = a_n n⃗ avec a_n = v²/R = R ω².

c) Équations horaires

• dθ/dt = ω → θ(t) = ω t + θ₀
• s(t) = R(ω t + θ₀) = v t + s₀

VI. Situation d'évaluation (idée générale)

VII. Idées-clés à retenir

• Décrire un mouvement = choisir un référentiel + un repère d'espace et de temps.
• Le vecteur-position OM⃗, la vitesse v⃗ et l'accélération a⃗ se déduisent par dérivation par rapport au temps.
• En base de Frenet, la vitesse est tangentielle et l'accélération se décompose en partie tangentielle (variation de la valeur de v) et normale (changement de direction).
• MRU : a = 0, x(t) = v₀ t + x₀.
• MRUV : a = cste, v(t) affine en t, x(t) polynôme du second degré.
• Mouvement circulaire uniforme : v constante en valeur, accélération normale centripète.

Fiche réalisée à partir du cours « Cinématique du point » (Physique-Chimie Terminale C, ecole-ci.org).