I. Forme algébrique
Un nombre complexe z s’écrit sous la forme :
z = x + i y
- x, y ∈ ℝ ;
- x : partie réelle Re(z) ; y : partie imaginaire Im(z) ;
- i est l’unité imaginaire, définie par i² = −1.
II. Addition et multiplication
- Somme : (x + i y) + (x′ + i y′) = (x + x′) + i(y + y′).
- Produit : (x + i y)(x′ + i y′) = (x x′ − y y′) + i(x y′ + x′ y).
III. Conjugué et module
Le conjugué de z = x + i y est :
z̅ = x − i y
Le module de z est :
|z| = √(x² + y²)
- |z|² = z z̅.
- |z w| = |z| |w| ; |z / w| = |z|/|w| (w ≠ 0).
IV. Forme trigonométrique
Si z ≠ 0, il existe un réel θ (un argument de z) tel que :
z = |z| (cos θ + i sin θ)
- On note parfois z = r (cos θ + i sin θ) avec r = |z|.
- Les arguments sont définis à 2π près : si θ est un argument, θ + 2 k π en est aussi un (k ∈ ℤ).
1. Produit et quotient en forme trigonométrique
- z₁ = r₁ (cos θ₁ + i sin θ₁), z₂ = r₂ (cos θ₂ + i sin θ₂) :
z₁ z₂ = r₁ r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]
Si z₂ ≠ 0 :
z₁ / z₂ = (r₁/r₂) [cos(θ₁ − θ₂) + i sin(θ₁ − θ₂)]
V. Représentation géométrique
- On associe à un complexe z = x + i y le point M(x, y) du plan (plan complexe).
- Le module |z| est la distance OM.
- L’argument est l’angle ( 𝑒₁⃗, ⃗OM ).
VI. À retenir
- ℂ est une extension de ℝ permettant de résoudre des équations comme z² + 1 = 0.
- La forme algébrique est pratique pour les sommes et produits ; la forme trigonométrique est très utile pour les produits, quotients et puissances.
- La vision géométrique (plan complexe) permet de traduire des problèmes de géométrie en calculs sur les complexes.
Fiche réalisée à partir du cours « Nombres complexes » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev