📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Logarithme népérien

• Domaine : x > 0.
• ln(1) = 0 ; ln(e) = 1.

II. Propriétés algébriques

• Pour x > 0, y > 0 :

ln(x y) = ln x + ln y
ln(x / y) = ln x − ln y
ln(xⁿ) = n ln x (n réel)

III. Dérivée et variations

Pour tout x > 0 :

(ln x)′ = 1/x

• ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
• Limites :

lim_x→0⁺ ln x = −∞
lim_x→+∞ ln x = +∞

IV. Résolution d’équations/inéquations

1. Équations

• Si ln x = a, alors x = eᵃ.
• Si ln f(x) = ln g(x) (f(x) > 0, g(x) > 0), alors f(x) = g(x).

2. Inéquations

• Comme ln est croissante :

ln x < ln y ⟺ x < y (x, y > 0)

V. À retenir

• La fonction ln est définie seulement pour les x positifs.
• Les propriétés de ln simplifient énormément les calculs sur les produits, quotients et puissances.
• ln et exp sont réciproques et se manipulent ensemble dans les équations.

Fiche réalisée à partir du cours « Fonctions logarithmes » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).