I. Repère de l’espace
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗).
- Un point M est repéré par ses coordonnées (x, y, z) telles que :
⃗OM = x 𝑖⃗ + y 𝑗⃗ + z 𝑘⃗
- Un vecteur ⃗u est repéré par (a, b, c) avec :
⃗u = a 𝑖⃗ + b 𝑗⃗ + c 𝑘⃗
II. Vecteurs, colinéarité et orthogonalité
- Deux vecteurs ⃗u(a, b, c) et ⃗v(a′, b′, c′) sont colinéaires s’il existe λ ∈ ℝ tel que :
(a′, b′, c′) = λ (a, b, c)
⃗u · ⃗v = a a′ + b b′ + c c′
- ⃗u ⟂ ⃗v si et seulement si ⃗u · ⃗v = 0.
III. Équation d’une droite
Une droite D peut être définie par :
- un point A(x₀, y₀, z₀) appartenant à D ;
- un vecteur directeur ⃗u(a, b, c).
1. Écriture paramétrique
Tout point M(x, y, z) de D s’écrit :
x = x₀ + a t
y = y₀ + b t
z = z₀ + c t
où t ∈ ℝ est un paramètre.
IV. Équation d’un plan
Un plan P peut être défini par :
- un point A(x₀, y₀, z₀) appartenant à P ;
- un vecteur normal ⃗n(A, B, C) non nul.
1. Équation cartésienne
Tout point M(x, y, z) de P vérifie :
⃗n · ⃗AM = 0
Soit :
A (x − x₀) + B (y − y₀) + C (z − z₀) = 0
qu’on écrit souvent :
A x + B y + C z + D = 0
V. Positions relatives
- Deux droites peuvent être sécantes, parallèles, ou gauches (non coplanaires).
- Une droite peut être parallèle ou sécante à un plan, ou contenue dans le plan.
- Deux plans peuvent être parallèles, sécants, ou confondus.
VI. À retenir
- Les coordonnées permettent de traduire en équations les problèmes de géométrie dans l’espace.
- Droites : écriture paramétrique via un point et un vecteur directeur.
- Plans : équation cartésienne via un point et un vecteur normal.
Fiche réalisée à partir du cours « Géométrie analytique de l’espace » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev