I. Notion de dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I.
On dit que f est dérivable en a si la limite suivante existe :
f′(a) = limh→0 [f(a + h) − f(a)] / h
f′(a) est le nombre dérivé de f en a.
Si f est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I et on définit la fonction dérivée f′ sur I.
II. Dérivée et tangente
- La courbe de f admet en a une tangente si f est dérivable en a.
- L’équation de la tangente en a est :
y = f′(a) (x − a) + f(a)
III. Règles de dérivation usuelles
- (k)′ = 0 (k réel constant)
- (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ (n entier ≥ 1)
- (f + g)′ = f′ + g′
- (k f)′ = k f′
- (f g)′ = f′ g + f g′
- (f/g)′ = (f′ g − f g′)/g² (g ≠ 0)
IV. Lien entre dérivée et variations
Soit f dérivable sur un intervalle I.
- Si pour tout x ∈ I, f′(x) ≥ 0 (resp. > 0), alors f est croissante (resp. strictement croissante) sur I.
- Si pour tout x ∈ I, f′(x) ≤ 0 (resp. < 0), alors f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur I.
1. Extremums locaux
- Si f′ s’annule en a et change de signe autour de a, alors f admet en a :
- un maximum local si f′ passe de + à − ;
- un minimum local si f′ passe de − à +.
V. Méthode d’étude complète d’une fonction
Pour étudier une fonction f sur un intervalle :
- Domaine de définition : déterminer l’ensemble des x pour lesquels f(x) est définie.
- Limites : aux bornes, en +∞/−∞, et près des points où f n’est pas définie (asymptotes).
- Dérivée f′ : calculer f′(x) et étudier son signe (tableau de signes).
- Variations : en déduire le tableau de variations de f.
- Tangentes et extremums : calculer les tangentes en certains points, repérer les maxima/minima.
- Tracé de la courbe : synthétiser toutes les informations pour esquisser la courbe.
VI. À retenir
- La dérivée mesure la vitesse de variation d’une fonction.
- Le signe de f′ donne directement le sens de variation de f.
- L’étude complète d’une fonction combine : domaine, limites, dérivée, variations, tangentes et dessin de la courbe.
Fiche réalisée à partir du cours « Dérivabilité et étude de fonctions » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev