I. Diviseurs et multiples
Soient a et b deux entiers relatifs, b ≠ 0.
On dit que b divise a (ou que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b) s’il existe k ∈ ℤ tel que :
a = k b
On note : b | a.
- D(a) : ensemble des diviseurs de a.
- 1 et −1 divisent tout entier.
- 0 est multiple de tout entier, mais 0 ne divise aucun entier.
II. Propriétés de divisibilité
- Si b | a alors |b| ≤ |a|.
- a | a pour tout a ∈ ℤ.
- Si a | b et b | a, alors a = b ou a = −b.
- Si a | b et b | c, alors a | c.
- Si a | b et a | c, alors pour tout (p, q) ∈ ℤ² :
a | (p b + q c)
(toute combinaison linéaire de b et c est divisible par a).
III. Division euclidienne
1. Dans ℕ
Pour tout (a, b) ∈ ℕ² avec b ≠ 0, il existe un unique couple (q, r) ∈ ℕ² tel que :
a = b q + r avec 0 ≤ r < b
- q : quotient, r : reste de la division euclidienne de a par b.
- Si r = 0, alors b | a.
2. Dans ℤ
Pour tout (a, b) ∈ ℤ² avec b ≠ 0, il existe un unique couple (q, r) ∈ ℤ × ℕ tel que :
a = b q + r avec 0 ≤ r < |b|
- Le reste r est toujours un entier naturel.
- Si r = 0, alors b | a.
IV. PGCD et irréductibilité
Le PGCD de deux entiers a et b, noté PGCD(a, b), est le plus grand entier naturel d qui divise à la fois a et b.
- a et b sont premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1.
- Une fraction a/b (b ≠ 0) est irréductible si PGCD(a, b) = 1.
Propriété utile : Si d = PGCD(a, b), alors il existe des entiers p et q tels que :
d = p a + q b
(combinaison linéaire de a et b).
V. À retenir
- La notion de divisibilité se base sur l’existence d’un entier k tel que a = k b.
- La division euclidienne permet de définir quotient et reste, en particulier dans ℤ.
- Les propriétés de divisibilité et les combinaisons linéaires sont au cœur du calcul du PGCD et de la preuve de l’irréductibilité d’une fraction.
Fiche réalisée à partir du cours « Divisibilité dans ℤ » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev