I. Définition du barycentre
Soient n points pondérés (A₁, α₁), (A₂, α₂), …, (An, αn) avec n ≥ 2 et Σαi ≠ 0.
Il existe un unique point G tel que :
α₁⃗GA₁ + α₂⃗GA₂ + … + αn⃗GAn = 0⃗
Ce point G est le barycentre des points pondérés considérés.
Notations :
G = bar{(A₁, α₁), (A₂, α₂), …, (An, αn)}
II. Cas de deux points pondérés
1. Formule
Pour deux points (A, α) et (B, β) avec α + β ≠ 0, le barycentre G est tel que :
⃗AG = β/(α + β) · ⃗AB
- Si α et β sont de même signe, G est sur le segment [AB].
- Si α et β sont de signes contraires, G est à l’extérieur du segment [AB].
2. Cas particulier : milieu
Si α = β ≠ 0, alors G est le milieu du segment [AB]. On parle d’isobarycentre de (A, B).
III. Isobarycentre
Le barycentre de n points (A₁, α), …, (An, α) (même coefficient non nul) est appelé isobarycentre des points A₁, …, An.
- Pour n = 2 : G est le milieu de [A₁A₂].
- Pour n = 3 : si A₁, A₂, A₃ ne sont pas alignés, G est le centre de gravité du triangle A₁A₂A₃.
On a alors :
Σ⃗GAi = 0⃗
IV. Propriétés importantes
1. Condition d’existence
- Le barycentre de (Ai, αi) existe si et seulement si Σαi ≠ 0.
2. Homogénéité
Multiplier tous les coefficients par un même réel k ≠ 0 ne change pas le barycentre :
bar{(A₁, α₁), …, (An, αn)} = bar{(A₁, kα₁), …, (An, kαn)}
3. Expression vectorielle
On peut exprimer ⃗A₁G en fonction des vecteurs ⃗A₁Ai :
⃗A₁G = (α₂/(Σα))⃗A₁A₂ + (α₃/(Σα))⃗A₁A₃ + … + (αn/(Σα))⃗A₁An
V. Interprétation physique
- Le barycentre d’un système de points pondérés peut modéliser le centre de masse d’un ensemble de masses ponctuelles.
- Il est utilisé pour calculer une moyenne "pondérée" de positions ou de grandeurs physiques.
VI. À retenir
- Le barycentre est un outil puissant de géométrie vectorielle (parallélogrammes, centres de gravité, constructions).
- Les cas particuliers (milieu, centre de gravité) se retrouvent naturellement par choix des coefficients.
- Les notations bar{(Ai, αi)} et les propriétés (existence, homogénéité) simplifient les calculs.
Fiche réalisée à partir du cours « Barycentre – Lignes de niveau » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev