I. Limite d’une fonction
On dit que la fonction f admet pour limite ℓ en a si, lorsque x se rapproche de a, les valeurs f(x) se rapprochent de ℓ. On écrit :
limx→a f(x) = ℓ
1. Limites en un point et en l’infini
- limx→a f(x) = ℓ (x s’approche d’une valeur finie a).
- limx→+∞ f(x), limx→−∞ f(x) (x devient très grand en valeur absolue).
2. Opérations sur les limites
Quand les limites existent (et sont finies) :
- lim(f + g) = lim f + lim g
- lim(λ f) = λ lim f (λ réel)
- lim(f × g) = (lim f) (lim g)
- Si lim g ≠ 0, lim(f/g) = (lim f)/(lim g)
On utilise les formes usuelles (polynômes, rationnelles, racines, trigonométriques) et les règles de comparaison (croissances comparées) pour calculer des limites plus complexes.
II. Limite d’une fonction composée
Si limx→a f(x) = b et limt→b g(t) = ℓ, alors, sous des hypothèses raisonnables :
limx→a g(f(x)) = ℓ
On décompose souvent une fonction compliquée en composition de fonctions plus simples dont on connaît déjà les limites.
III. Limites et fonctions monotones
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si ∀x ≤ y dans I, f(x) ≤ f(y). Elle est décroissante si les inégalités sont inversées.
Propriétés utiles :
- Si f est croissante et majorée sur ]a, b[, alors f admet une limite finie en b.
- Si f est décroissante et minorée sur ]a, b[, alors f admet une limite finie en b.
IV. Continuité d’une fonction
f est continue en a (a ∈ Df) si :
limx→a f(x) = f(a)
- Pas de "saut" ni "trou" sur le graphique au point a.
- On dit que f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
1. Conséquences graphiques
- La courbe de f ne présente pas de rupture sur I.
- Pour les fonctions continues et monotones, on peut utiliser des encadrements pour prouver des limites (théorème des gendarmes, etc.).
V. Idées d’applications (exemple du cours)
- Étudier la netteté d’un appareil photo en fonction de la distance de mise au point conduit à considérer la limite d’une fonction f(x) quand x → +∞.
- Comparer les valeurs de f sur un intervalle où elle est croissante et majorée permet de montrer qu’elle admet une limite finie ℓ, puis d’encadrer ℓ.
VI. À retenir
- La notion de limite permet d’étudier le comportement d’une fonction près d’un point ou à l’infini.
- Les fonctions monotones et bornées sur un intervalle ouvert admettent une limite finie aux bornes.
- La continuité en a se traduit par l’égalité entre la valeur de f(a) et la limite de f en ce point.
Fiche réalisée à partir du cours « Limites et continuité d’une fonction » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev