Math L18 Equations differentielles — Mathématiques Terminale C

I. Type d’équation étudié

On s’intéresse aux équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme :

y′ + a y = b

où a et b sont des constantes réelles, y est une fonction inconnue de la variable x.

L’équation homogène associée est :

y′ + a y = 0

Sa solution générale est :

y_h(x) = C e^{−a x} (C ∈ ℝ)

Pour l’équation complète y′ + a y = b, une solution particulière y_p peut être choisie constante :

y_p(x) = b/a (si a ≠ 0)

La solution générale de :

y′ + a y = b

est de la forme :

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{−a x} + b/a

Si on impose une condition initiale y(x₀) = y₀, on peut déterminer la constante C :

y₀ = C e^{−a x₀} + b/a ⟹ C = (y₀ − b/a) e^{a x₀}

On résout d’abord l’équation homogène, puis on ajoute une solution particulière pour obtenir la solution générale.
Les équations de type y′ + a y = b modélisent des phénomènes d’évolution (refroidissement, charge/décharge de condensateur, etc.).

Fiche réalisée à partir du cours « Équations différentielles » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).

Créé par Haniel_dev