I. Alignement et orthogonalité
- A, B, C de points d’affixes respectives zA, zB, zC.
1. Alignement
Les points A, B, C sont alignés si et seulement si :
(zC − zA) / (zB − zA) ∈ ℝ
2. Orthogonalité et isométrie
Les droites (AB) et (AC) sont :
(zC − zA) / (zB − zA) ∈ iℝ
(zC − zA) / (zB − zA) = eiα
II. Cercles et cocyclicité
- Les points A, B, C, D (non confondus) sont situés sur un même cercle si et seulement si :
(zB − zC) / (zA − zC) : (zB − zD) / (zA − zD) ∈ ℝ
(rapport de rapports réel).
III. Transformations du plan et écritures complexes
1. Translation
Une translation de vecteur u⃗ d’affixe b envoie M(z) sur M′(z′) avec :
z′ = z + b
2. Homothétie
Une homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k ≠ 0 envoie M(z) sur M′(z′) avec :
z′ − ω = k (z − ω)
3. Rotation
Une rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ envoie M(z) sur M′(z′) avec :
z′ − ω = eiθ (z − ω)
4. Symétries
- Symétrie par rapport à l’axe réel : z′ = z̅.
- Symétrie par rapport à l’axe imaginaire : z′ = −z̅.
- Symétrie centrale de centre Ω(ω) : z′ − ω = − (z − ω).
IV. Reconnaître une transformation
Une transformation du plan d’écriture complexe z′ = a z + b (a ∈ ℂ*, b ∈ ℂ) est :
- une translation si a = 1 ;
- une homothétie si a ∈ ℝ* \\ {1} ;
- une rotation si |a| = 1 et a ∉ ℝ (a = eiθ).
Le centre Ω a pour affixe ω = b / (1 − a) (lorsque a ≠ 1).
V. À retenir
- Les nombres complexes sont un outil puissant pour la géométrie du plan : alignement, orthogonalité, cercles.
- Les transformations usuelles du plan (translations, rotations, homothéties, symétries) ont des écritures complexes simples.
- Identifier la nature d’une transformation revient à examiner le coefficient a et le terme b dans z′ = a z + b.
Fiche réalisée à partir du cours « Nombres complexes et géométrie du plan » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev