I. PGCD
Pour deux entiers relatifs a et b, non tous les deux nuls, le plus grand commun diviseur (PGCD) de a et b, noté d = PGCD(a, b), est le plus grand entier naturel qui divise a et b.
- a et b sont premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1.
1. Propriétés
- d | a et d | b ;
- Tout diviseur commun de a et b divise d ;
- PGCD(a, b) = PGCD(|a|, |b|).
II. PPCM
Pour deux entiers relatifs a et b non nuls, le plus petit commun multiple (PPCM) de a et b est le plus petit entier naturel M > 0 tel que :
a | M et b | M
1. Relation fondamentale
Pour a, b non nuls :
|a b| = PGCD(a, b) × PPCM(a, b)
III. Méthodes de calcul
1. Décomposition en facteurs premiers
a = p₁α₁ p₂α₂ … ; b = p₁β₁ p₂β₂ …
- PGCD(a, b) = produit des pᵢ exposant min(αᵢ, βᵢ).
- PPCM(a, b) = produit des pᵢ exposant max(αᵢ, βᵢ).
2. Algorithme d’Euclide (idée)
- On effectue des divisions euclidiennes successives :
a = b q₁ + r₁
b = r₁ q₂ + r₂
…
- On s’arrête au premier reste nul : le dernier reste non nul est PGCD(a, b).
IV. À retenir
- PGCD : plus grand diviseur commun, permet de simplifier des fractions et de vérifier la primalité relative.
- PPCM : plus petit multiple commun, utile pour des problèmes de périodicité (dates communes, rythmes…).
- La relation |ab| = PGCD × PPCM relie étroitement ces deux notions.
Fiche réalisée à partir du cours « PPCM et PGCD de deux entiers relatifs » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).
Créé par Haniel_dev