Math L10 Fonction exponentielle et puissance — Mathématiques Terminale C | ResumeCI

I. Fonction exponentielle

La fonction exponentielle exp, notée eˣ, est définie sur ℝ et vérifie :

exp(0) = 1 ;
(exp x)′ = exp x ;
exp est strictement croissante sur ℝ.

eˣ > 0 pour tout x ;
eˣ eʸ = eˣ⁺ʸ ;
e⁻ˣ = 1/eˣ.

II. Fonctions puissance x ↦ xᵃ

Pour un réel a, on définit des fonctions puissance du type :

f(x) = xᵃ

Pour a entier naturel n, f(x) = xⁿ définie sur ℝ.
Pour a = 1/n (n entier ≥ 2), f(x) = x¹/ⁿ définie sur [0; +∞[.
Pour d’autres réels a, les définitions passent par exp et ln (pas tous les détails ici).

III. Dérivées usuelles

(eˣ)′ = eˣ.
Pour n ≥ 1 entier, (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹.
Pour a réel, sous conditions de définition :

(xᵃ)′ = a xᵃ⁻¹

IV. Comparaisons de croissance

Pour x → +∞, eˣ domine toute puissance xᵃ (croît plus vite).
Pour x → −∞, eˣ tend plus vite vers 0 que 1/xᵃ.

V. À retenir

La fonction exponentielle est un modèle de croissance continue.
Les fonctions puissance généralisent les fonctions de type xⁿ et sont essentielles en analyse.
Les dérivées de eˣ et xᵃ sont des outils de base pour les études de fonctions et les intégrales.

Fiche réalisée à partir du cours « Fonction exponentielle et fonction puissance » (Mathématiques Terminale C, ecole-ci.org).

Créé par Haniel_dev