Objectifs de la leçon :- Savoir calculer les effectifs et fréquences cumulés d'une série statistique.
- Représenter un polygone d'effectifs ou de fréquences cumulés.
- Connaître et interpréter les paramètres de position : mode, moyenne, médiane.
I. Effectifs et fréquences cumulés
On considère une série statistique à caractère quantitatif (xi ; ni) d'effectif total N.
- L'effectif cumulé croissant d'une modalité est la somme des effectifs des modalités inférieures ou égales.
- L'effectif cumulé décroissant d'une modalité est la somme des effectifs des modalités supérieures ou égales.
- On définit de même les fréquences cumulées en remplaçant les effectifs par les fréquences.
Exemple de tableau
| Notes | Effectifs | Effectifs cumulés croissants | Effectifs cumulés décroissants |
|---|
| 7 | 3 | 3 | 20 |
| 8 | 1 | 4 | 17 |
| 9 | 4 | 8 | 16 |
II. Polygones des effectifs cumulés
Pour une série regroupée en classes, on représente graphiquement les effectifs (ou fréquences) cumulés par des polygones :
- On place des points dont l'abscisse est la borne supérieure (ou inférieure) de chaque classe ;
- l'ordonnée est l'effectif cumulé correspondant ;
- on relie ensuite ces points par des segments.
On peut tracer un polygone des effectifs cumulés croissants et un polygone des effectifs cumulés décroissants.
III. Paramètres de position
1. Mode et classe modale
- Le mode d'une série statistique est toute modalité d'effectif (ou de fréquence) maximal.
- Lorsque les modalités sont des classes d'intervalle, on parle de classe modale.
2. Moyenne
Pour une série discrète (xi ; ni) :
\bar{x} = (n₁x₁ + n₂x₂ + ... + nₚxₚ) / N
Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre ci :
\bar{x} = (n₁c₁ + n₂c₂ + ... + nₚcₚ) / N
3. Médiane
La médiane d'une série est la valeur qui partage la population en deux parties de même effectif.
- Si N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) / 2.
- Si N est pair, la médiane est souvent prise comme la moyenne des deux valeurs centrales.
Interprétation : la moyenne donne une idée de la « valeur centrale » globale ; le mode indique la valeur la plus fréquente ; la médiane sépare les valeurs en deux groupes de même taille.
IV. Paramètres de dispersion (aperçu)
On peut compléter l'étude statistique par des indicateurs de dispersion (écart entre les valeurs) comme : étendue, variance, écart-type (vus dans les niveaux supérieurs).
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