Objectifs de la leçon :- Comprendre la mesure des angles en radians et savoir convertir degrés ↔ radians.
- Définir un angle orienté et distinguer sens direct / sens indirect.
- Utiliser ces notions dans des calculs de trigonométrie de base.
I. Mesure des angles en radians
La mesure en radians d'un angle AÔB est égale à la longueur de l'arc intercepté sur le cercle de centre O et de rayon 1.
- L'angle nul a pour mesure 0 rad.
- L'angle plat a pour mesure π rad.
Correspondance degrés / radians
Si x est la mesure en degrés et y la mesure en radians :
y = x · π / 180° et x = 180° · y / π
Exemples courants :
- 0° ↔ 0
- 30° ↔ π/6
- 45° ↔ π/4
- 60° ↔ π/3
- 90° ↔ π/2
- 180° ↔ π
Longueur d'un arc de cercle
Sur un cercle de centre O et de rayon R, si l'angle au centre a pour mesure α (en radians), alors la longueur de l'arc intercepté est :
longueur(AB̂) = R · α
II. Angles orientés
1. Orientation du plan
Sur un cercle, on choisit un sens de parcours :
- le sens direct (ou positif, trigonométrique) : contraire au sens des aiguilles d'une montre ;
- le sens indirect (ou négatif) : sens des aiguilles d'une montre.
2. Angle orienté de deux vecteurs
Soient deux vecteurs non nuls u et v. L'angle orienté (u, v)̂ est défini en considérant l'arc parcouru dans le sens choisi, allant de la direction de u vers celle de v.
- Si u et v sont colinéaires et de même sens → angle orienté nul.
- Si u et v sont colinéaires et de sens contraire → angle orienté plat (π rad).
- Si u et v sont orthogonaux → angle orienté droit (π/2 ou −π/2 selon le sens).
III. Premiers liens avec la trigonométrie
Pour un angle orienté α, les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont définies comme en Seconde, mais la variable est mesurée en radians.
- Si cos α est connu (par exemple cos α = √5/3) et si l'on connaît le signe de sin α en fonction de l'intervalle de α, on peut en déduire tan α.
- Les formules fondamentales (comme sin²α + cos²α = 1) restent vraies pour tout réel α.
À retenir : la mesure en radians et les angles orientés sont indispensables pour travailler de façon rigoureuse en trigonométrie (fonctions sinus/cosinus, équations trigonométriques, etc.).
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