Objectifs de la leçon :- Définir et distinguer angle au centre et angle inscrit.
- Connaître la relation fondamentale entre angle au centre et angle inscrit interceptant le même arc.
- Utiliser ces propriétés pour résoudre des problèmes de géométrie dans le cercle.
I. Définitions
- Un cercle de centre O est l'ensemble des points situés à une même distance r de O.
- Un angle au centre est un angle ayant son sommet au centre du cercle et ses côtés passant par deux points A et B du cercle.
- Un angle inscrit est un angle ayant son sommet sur le cercle et interceptant un arc déterminé par deux points A et B du cercle.
II. Relation entre angle au centre et angle inscrit
Dans un même cercle, la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Si l'on note :
- Ô = angle au centre interceptant l'arc AB ;
- Î = angle inscrit interceptant le même arc AB ;
alors : m(Î) = 1/2 · m(Ô).
III. Conséquences importantes
- Des angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
- Un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle (arc de 180°) est un angle droit : le triangle construit sur un diamètre est rectangle.
Théorème : dans un cercle, tout triangle inscrit ayant pour côté un diamètre est rectangle (théorème de Thalès dans le cercle).
IV. Applications géométriques
- Calculer des angles dans une figure comportant des cercles, des cordes et des arcs.
- Montrer qu'un triangle est rectangle en utilisant les propriétés des angles inscrits.
- Résoudre des problèmes de construction où certaines mesures d'angles sont imposées.
Stratégie typique :
- Identifier les arcs interceptés par les angles donnés.
- Relier les mesures en utilisant m(angle inscrit) = 1/2 · m(angle au centre).
- Déduire les mesures manquantes ou la nature du triangle.
À retenir : le lien entre angle au centre et angle inscrit est un outil puissant pour étudier les figures dans le cercle et prouver que des angles sont égaux ou complémentaires.
Créé par Haniel_dev