Objectifs de la leçon :- Identifier des fonctions polynômes et donner leur degré.
- Étudier le signe et la représentation de certains polynômes du second degré simples.
- Comprendre la notion de fonction rationnelle simple de type P(x)/Q(x).
I. Fonctions polynômes
Une fonction polynôme est définie sur ℝ par une expression du type :
P(x) = anxn + ... + a1x + a0, où les ai sont des réels et an ≠ 0.
Le plus grand exposant de x est le degré du polynôme.
Exemples
- P(x) = 2x + 3 est un polynôme de degré 1 (fonction affine).
- Q(x) = x² − 5x + 6 est un polynôme de degré 2 (fonction quadratique).
II. Signe d'un polynôme du second degré simple
Pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), on calcule le discriminant :
Δ = b² − 4ac
- Si Δ > 0, P admet deux racines réelles distinctes x1 et x2, et son signe varie selon a et l'intervalle.
- Si Δ = 0, P a une racine double x0, et son signe est celui de a sauf en x0 où P(x0) = 0.
- Si Δ < 0, P n'a pas de racine réelle et garde le signe de a sur ℝ.
Idée : la courbe d'un polynôme du second degré est une parabole. Le sens de concavité dépend du signe de a.
III. Fonctions rationnelles simples
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme :
f(x) = P(x) / Q(x)
où P et Q sont des polynômes et Q(x) ≠ 0.
Domaine de définition
Le domaine de définition de f est l'ensemble des réels x tels que Q(x) ≠ 0 (on exclut les valeurs qui annuleraient le dénominateur).
Exemples
- f(x) = (2x − 1)/(x + 3) : on exclut x = −3.
- g(x) = (x² − 1)/(x − 1) : on simplifie pour x ≠ 1 en g(x) = x + 1, mais x = 1 reste exclu.
IV. Lecture graphique et applications
- Étude du signe d'un polynôme en repérant ses zéros sur la droite réelle.
- Repérage des asymptotes verticales pour certaines fonctions rationnelles (valeurs exclues du domaine).
- Résolution d'inéquations de la forme P(x) ≥ 0 à l'aide d'un tableau de signe.
À retenir : les fonctions polynômes et rationnelles constituent une grande famille de fonctions étudiées en classe de Seconde et dans les niveaux supérieurs. Il est important de bien maîtriser leur écriture, leur domaine de définition et leur comportement global.
Créé par Haniel_dev