Objectifs de la leçon :- Décrire les différentes positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, et de deux plans dans l'espace.
- Comprendre la notion de coplanarité et savoir l'utiliser pour justifier des configurations.
- Savoir ce qu'est une section plane d'un solide par un plan et comment la construire.
I. Positions relatives de droites et de plans
1. Deux droites dans l'espace
Deux droites peuvent être :
- Confondues : ce sont en fait la même droite.
- Sécantes : elles ont un unique point d'intersection.
- Parallèles : elles sont coplanaires et disjointes.
- Non coplanaires (ou gauches) : elles ne sont ni sécantes ni parallèles, et n'appartiennent à aucun même plan.
À retenir : deux droites non coplanaires sont disjointes, mais des droites disjointes peuvent être parallèles et donc coplanaires.
2. Droite et plan
Étant donnée une droite (D) et un plan (P), trois situations sont possibles :
- (D) incluse dans (P) : tous les points de (D) appartiennent au plan.
- (D) sécante à (P) : l'intersection de (D) et (P) est réduite à un point.
- (D) parallèle à (P) : (D) et (P) sont disjoints mais il existe dans (P) une droite parallèle à (D).
3. Deux plans
Deux plans (P) et (L) peuvent être :
- Confondu : ce sont le même plan.
- Disjoints : ils n'ont aucun point commun.
- Sécants : leur intersection est une droite.
Deux plans parallèles sont soit confondus, soit disjoints. Deux plans non parallèles sont sécants et leur intersection est une droite.
II. Coplanarité et vocabulaire
- Des points sont coplanaires s'ils appartiennent à un même plan.
- Des droites sont coplanaires si elles sont toutes contenues dans un même plan.
- Quatre points sont non coplanaires lorsque l'un d'eux n'appartient pas au plan défini par les trois autres.
- Un tétraèdre est un solide dont les quatre sommets ne sont pas coplanaires.
Résultat utile : si deux droites sont non coplanaires, elles sont nécessairement disjointes.
III. Détermination d'un plan
Un plan peut être déterminé de plusieurs façons :
- Par trois points non alignés ;
- Par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite ;
- Par deux droites sécantes ;
- Par deux droites strictement parallèles.
Pour montrer qu'une droite est incluse dans un plan, on peut montrer qu'elle passe par deux points déjà connus de ce plan.
IV. Sections planes
La section plane d'un solide par un plan est la « trace » du plan sur le solide : l'ensemble des points communs au solide et au plan.
1. Méthode de construction
- On repère les arêtes du solide qui coupent le plan.
- On détermine les points d'intersection du plan avec ces arêtes.
- On relie ces points dans l'ordre pour obtenir le polygone de section.
Exemples : section d'un cube par un plan passant par trois points, section d'une pyramide par un plan passant par quatre points de ses arêtes.
V. Parallélisme dans l'espace
1. Droites parallèles
Deux droites parallèles sont confondues ou bien coplanaires et disjointes. Quelques propriétés :
- Par un point donné de l'espace, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
- Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.
- Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
2. Droite parallèle à un plan
- Une droite est parallèle à un plan s'il existe dans ce plan une droite qui lui est parallèle.
- Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection.
3. Plans parallèles
- Deux plans sont parallèles s'ils sont confondus ou disjoints.
- Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux.
- Par un point donné de l'espace, il passe un et un seul plan parallèle à un plan donné.
Conséquences pratiques : ces propriétés permettent de résoudre de nombreux problèmes de géométrie de l'espace en utilisant des parallélismes et des sections planes.
Créé par Haniel_dev