Objectifs de la leçon :- Connaître les définitions de la symétrie axiale, de la symétrie centrale et de la translation.
- Utiliser ces transformations pour construire des figures et démontrer des propriétés géométriques.
- Exploiter les propriétés de conservation (longueurs, angles, parallélisme, aire).
I. Symétrie axiale
La symétrie axiale par rapport à une droite (d) envoie un point A sur un point A' tel que :
- la droite (d) est la médiatrice du segment [AA'] ;
- le segment [AA'] est perpendiculaire à (d).
Propriétés
- Elle conserve les longueurs, les angles et l'alignement.
- L'image d'une droite est une droite ; l'image d'un segment est un segment de même longueur.
- L'image d'une figure par symétrie axiale est superposable à la figure initiale.
II. Symétrie centrale
La symétrie centrale de centre O envoie un point A sur A' tel que O soit le milieu de [AA'].
Propriétés
- C'est une rotation de centre O et d'angle 180°.
- Elle conserve les longueurs, les angles, le parallélisme et les aires.
- Un parallélogramme est stable par symétrie centrale de centre son centre de gravité.
III. Translation
Une translation de vecteur u envoie tout point A sur un point A' tel que le vecteur AA' soit égal au vecteur u.
Propriétés
- Elle conserve la longueur, l'alignement, le parallélisme et les aires.
- L'image d'un segment est un segment de même longueur et parallèle.
- L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
Symétries et translations sont des isométries : elles conservent les distances.
IV. Utilisation dans les démonstrations
Ces transformations permettent souvent de simplifier une figure ou de mettre en évidence des égalités de longueurs / d'angles.
- Pour montrer que deux segments ont même longueur, on peut parfois exhiber une symétrie ou une translation qui envoie l'un sur l'autre.
- Pour prouver des parallélismes, on utilise la conservation du parallélisme par ces transformations.
Méthodes
- Construction : tracer l'image d'un point par rapport à un axe, un centre ou un vecteur donné.
- Raisonnement : identifier les figures invariantes par une transformation (par exemple : un carré est invariant par certaines symétries axiales).
À retenir : les symétries et les translations permettent de « déplacer » les figures sans les déformer. Elles sont très utiles pour reconnaître des figures isométriques et résoudre des problèmes de construction et de démonstration en géométrie plane.
Créé par Haniel_dev