Objectifs de la leçon :- Connaître les différents ensembles de nombres (naturels, entiers, rationnels, réels).
- Savoir représenter des intervalles de ℝ sur la droite graduée.
- Utiliser la valeur absolue et les inégalités pour résoudre des problèmes simples.
I. Les principaux ensembles de nombres
- ℕ : ensemble des nombres naturels (0, 1, 2, 3, ...).
- ℤ : ensemble des entiers relatifs (..., −2, −1, 0, 1, 2, ...).
- ℚ : ensemble des rationnels (fractions a/b avec a et b entiers, b ≠ 0).
- ℝ : ensemble des nombres réels (qui contient ℚ et les nombres irrationnels comme √2, π...).
On a l'inclusion : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
II. Intervalles de ℝ
Un intervalle est une partie de ℝ formée de tous les réels compris entre deux bornes.
| Notation | Nom | Description |
|---|
| [a ; b] | Intervalle fermé | a ≤ x ≤ b |
| ]a ; b[ | Intervalle ouvert | a < x < b |
| ]a ; b] | Intervalle semi-ouvert | a < x ≤ b |
| [a ; b[ | Intervalle semi-ouvert | a ≤ x < b |
| ]−∞ ; a] | Intervalle infini | x ≤ a |
| [a ; +∞[ | Intervalle infini | x ≥ a |
Sur une droite graduée, une borne fermée est représentée par un point plein, une borne ouverte par un point creux.
III. Ordre sur ℝ et inégalités
- Pour deux réels a et b, on dit que a < b si a est placé à gauche de b sur la droite réelle.
- Les inégalités se comportent bien vis-à-vis de l'addition et de la multiplication par un réel positif.
- Si a < b, alors a + c < b + c pour tout réel c.
- Si a < b et c > 0, alors a·c < b·c.
- Si a < b et c < 0, alors a·c > b·c (le sens de l'inégalité s'inverse).
IV. Valeur absolue
La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est la distance de x à 0 sur la droite réelle :
- si x ≥ 0, alors |x| = x ;
- si x < 0, alors |x| = −x.
On a toujours |x| ≥ 0 et |x| = 0 si et seulement si x = 0.
Interprétation géométrique
L'inégalité |x − a| ≤ r signifie que la distance entre x et a est inférieure ou égale à r, c'est-à-dire que x appartient à l'intervalle [a − r ; a + r].
V. Applications typiques
- Traduire des phrases en inégalités (par exemple « x est compris entre 2 et 5 » → 2 ≤ x ≤ 5).
- Représenter sur une droite les solutions d'une inégalité ou d'un système d'inégalités.
- Utiliser la valeur absolue pour exprimer des contraintes de distance (autour d'un point a).
À retenir : bien maîtriser les intervalles et l'ordre sur ℝ est indispensable pour l'étude des fonctions et la résolution d'équations / inéquations en classe de Seconde et dans tout le cycle supérieur.
Créé par Haniel_dev