Objectifs de la leçon :- Comprendre la notion de vecteur dans le plan (direction, sens, norme).
- Savoir représenter un vecteur à l'aide de points du plan.
- Effectuer des opérations simples sur les vecteurs (somme, différence, produit par un réel).
I. Points et segments dans le plan
- Un point est une position dans le plan (notée A, B, C...).
- Un segment [AB] est l'ensemble des points situés entre A et B.
- On peut repérer les points dans un repère orthonormé (O; i, j) par leurs coordonnées (x; y).
Dans un repère, un point A(xA ; yA) est représenté par l'extrémité d'un segment partant de l'origine O et de coordonnées (xA ; yA).
II. Définition d'un vecteur
Un vecteur est défini par :
- une direction (celle d'une droite),
- un sens (de A vers B, par exemple),
- une norme (sa longueur).
On note le vecteur allant de A à B par AB.
1. Vecteurs égaux
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- Graphiquement : ce sont des flèches superposables par translation.
2. Représentation par les coordonnées
Dans un repère, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées :
AB = (xB − xA ; yB − yA)
III. Somme et différence de vecteurs
1. Somme de vecteurs
La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur u + v obtenu par la règle du parallélogramme :
- On place bout à bout les flèches représentant u et v.
- Le vecteur somme va de l'origine du premier à l'extrémité du second.
En coordonnées : si u = (x1 ; y1) et v = (x2 ; y2), alors u + v = (x1 + x2 ; y1 + y2).
2. Opposé et différence
- L'opposé de
u = (x ; y) est −u = (−x ; −y). - La différence de deux vecteurs est définie par
u − v = u + (−v).
IV. Produit d'un vecteur par un réel
Soit k un réel et u un vecteur.
- Le vecteur
k·u a la même direction que u. - Il a le même sens que u si
k > 0, le sens opposé si k < 0. - Sa norme est |k| fois celle de u.
En coordonnées : si u = (x ; y), alors k·u = (k·x ; k·y).
V. Alignement et milieu
1. Alignement
Trois points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que AC = k·AB.
2. Milieu d'un segment
Le milieu M de [AB] est le point tel que AM = MB.
En coordonnées : si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors :
M(xM ; yM) avec xM = (xA + xB)/2 et yM = (yA + yB)/2
À retenir : la notion de vecteur permet de décrire des déplacements, des forces, des vitesses. En Seconde C, elle sert de base à la géométrie analytique et à de nombreux raisonnements géométriques.
Créé par Haniel_dev