📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Opérations avec les quotients

1. Addition et soustraction de quotients

Soient a, b, c, d des nombres réels avec b ≠ 0 et d ≠ 0.

• Même dénominateur :
  a/b + c/b = (a + c)/b
a/b − c/b = (a − c)/b
• Dénominateurs différents :
  a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
a/b − c/d = (ad − bc)/(bd)

Exemples :

• 3/5 − 7/5 = (3 − 7)/5 = −4/5
• 3/7 + 5/2 = (3×2 + 5×7)/(7×2) = 41/14

2. Produit de quotients

Pour b ≠ 0 et d ≠ 0 :

• a/b × c/d = ac/(bd)

Exemples :

• 3 × 1/8 = 3/8
• 4/3 × 5/4 = (4×5)/(3×4) = 5/3

3. Division de quotients

Pour b, c, d ≠ 0 :

• (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/(bc)

Exemple :

• (4/3) ÷ (5/4) = 4/3 × 4/5 = 16/15

II. Puissances

1. Définition

Soit a un nombre réel et n un entier naturel non nul :

• Puissance n‑ième de a : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs).
• Pour a ≠ 0 :
  • a⁰ = 1
  • a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Exemples :

• 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
• 5⁻² = 1/5² = 1/25

2. Propriétés des puissances

Pour a, b ≠ 0 et n, p entiers relatifs :

• aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖ
• aⁿ / aᵖ = aⁿ⁻ᵖ (si a ≠ 0)
• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
• aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ
• (aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ

Exemples :

• 5⁶ × 5⁻⁸ = 5⁻² = 1/5²
• (5²)³ = 5⁶

III. Calculs avec les radicaux

1. Propriétés de base

Pour a, b ≥ 0 et b ≠ 0 :

• √(ab) = √a × √b
• √(a/b) = √a / √b
• √(aⁿ) = (√a)ⁿ si a ≥ 0

Exemples :

• √(36 × 81) = √36 × √81 = 6 × 9 = 54
• √(16/49) = 4/7
• √(2³) = √(2 × 2 × 2) = 2√2

IV. Proportionnalité et pourcentages

1. Grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs x et y sont proportionnelles s’il existe un nombre réel non nul k tel que :

• y = kx

Le nombre k est le coefficient de proportionnalité.

Exemple : le prix payé à la caisse d’une boulangerie est proportionnel au nombre de pains achetés.

2. Pourcentage d'une quantité

• k % d’une quantité a est :
  a × k/100

Exemple : 20 % de 40 kg : 40 × 20/100 = 8 kg.

3. Augmentation et réduction en pourcentage

• Augmenter une quantité a de k % revient à multiplier a par (1 + k/100).
• Réduire une quantité a de k % revient à multiplier a par (1 − k/100).

Exemples :

• Réduction de 30 % sur 2000 F :
  2000 × (1 − 30/100) = 2000 × 70/100 = 1400 F
• Augmentation de 30 % sur 2000 F :
  2000 × (1 + 30/100) = 2600 F

4. Produit de pourcentages

Pour calculer a % de b % d’une quantité Q, on multiplie Q par :

• a % × b % = (a × b)/10000

Exemple : 5 % de 2 % de 300 g :
300 × (2 × 5)/10000 = 0,3 g.

V. Approximations décimales et arrondis

1. Approximation décimale d'ordre n

On encadre un nombre réel entre deux décimaux consécutifs ayant le même nombre de chiffres après la virgule.

Exemple :

• On donne √2 ≈ 1,414213562.
• Encadrement d’ordre 3 : 1,414 < √2 < 1,415.
• Par défaut d’ordre 3 : 1,414.
• Par excès d’ordre 3 : 1,415.

2. Arrondi d'ordre n

• Pour arrondir à l’ordre n (nᵉ chiffre après la virgule) :
  • on regarde le chiffre suivant (n+1ᵉ) :
  • s’il est < 5 : on garde le nᵉ chiffre tel quel,
  • s’il est ≥ 5 : on ajoute 1 au nᵉ chiffre.

Exemples :

• Avec √2 ≈ 1,414213562 :
  • arrondi d’ordre 3 : 1,414 (4ᵉ chiffre = 2 < 5),
  • arrondi d’ordre 7 : 1,4142135 (8ᵉ chiffre = 6 ≥ 5).