Objectifs de la leçon :- Comprendre la définition d'une rotation de centre O et d'angle α.
- Connaître les cas particuliers (demi-tour, quarts de tour).
- Savoir construire l'image d'un point ou d'une figure simple par une rotation.
I. Définition d'une rotation
Soit O un point du plan orienté et α un réel appartenant à ]−π ; π]. On appelle rotation de centre O et d'angle orienté de mesure principale α l'application du plan qui, à chaque point M, associe un point M' tel que :
- si M ≠ O alors OM = OM' et l'angle orienté (OM, OM')̂ a pour mesure α ;
- si M = O alors M' = O.
On note cette rotation r(O ; α) et on écrit M' = r(O ; α)(M).
Cas particuliers
- α = π (180°) : demi-tour, c'est une symétrie centrale.
- α = π/2 : quart de tour direct.
- α = −π/2 : quart de tour indirect.
II. Points invariants
Une rotation d'angle non nul admet un unique point invariant : son centre O.
Si l'angle est nul (α = 0), tous les points du plan sont invariants (rotation identité).
III. Propriété fondamentale
Soit r une rotation de centre O et d'angle α. Si M et N ont pour images M' et N' par r, alors :
- MM' = NN' (les distances au centre sont conservées) ;
- MN = M'N' (la rotation est une isométrie) ;
- l'angle orienté (MN, M'N')̂ a pour mesure α.
Une rotation conserve les distances, les angles et les aires.
IV. Images de figures simples
- L'image d'un segment est un segment de même longueur.
- L'image d'une droite est une droite.
- L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
- Un triangle équilatéral peut être obtenu comme image d'un de ses côtés par une rotation de 60°.
Méthode de construction
- Pour construire l'image M' d'un point M, on trace un cercle de centre O et de rayon OM.
- On reporte l'angle α (dans le sens direct ou indirect) pour placer M' sur ce cercle.
- On répète l'opération pour les autres points de la figure.
À retenir : la rotation est une transformation rigide du plan : elle "tourne" les figures autour d'un point sans les déformer, ce qui en fait un outil puissant en géométrie plane.
Créé par Haniel_dev