Leçon 13 — Etude de fonctions elementaires — Mathematiques Seconde C

Objectifs de la leçon :

Reconnaître et étudier des fonctions affines par intervalles.
Comprendre et utiliser la fonction partie entière.
Rappeler les variations de quelques fonctions de base (x², |x|, √x, 1/x, x³).

I. Fonctions affines par intervalles

Une fonction est dite affine par intervalles si elle est définie sur un ou plusieurs intervalles disjoints par restrictions de fonctions affines.

Exemple :

{ f(x) = 3x − 2  si x ≤ 4
  f(x) = 1 − x    si x > 4

La représentation graphique d'une telle fonction est une réunion de segments ou de demi-droites.

II. Fonction partie entière

La partie entière d'un réel x, notée E(x), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.

Propriété

Pour tout réel x, il existe un unique entier z tel que :

z ≤ x < z + 1

On a alors E(x) = z.

Exemples

E(7,8) = 7
E(−4,02) = −5
E(9) = 9
E(31,365) = 31

La courbe de la fonction x ↦ E(x) est en "escaliers".

III. Rappels sur quelques fonctions usuelles

Fonction	Domaine	Variations
x ↦ x²	ℝ	décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
x ↦ \|x\|	ℝ	décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
x ↦ √x	[0 ; +∞[	croissante sur [0 ; +∞[
x ↦ 1/x	ℝ* = ℝ \ {0}	décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
x ↦ x³	ℝ	croissante sur ℝ

À retenir : bien connaître le comportement de ces fonctions de base (signe, variations, courbe typique) est indispensable pour l'étude de fonctions plus complexes et pour la résolution de problèmes d'optimisation.

Créé par Haniel_dev

📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Fonctions affines par intervalles

II. Fonction partie entière

Propriété

Exemples

III. Rappels sur quelques fonctions usuelles