Leçon 13 — Etude de fonctions elementaires — Mathematiques Seconde C

Objectifs de la leçon :

Reconnaître et étudier des fonctions affines par intervalles.
Comprendre et utiliser la fonction partie entière.
Rappeler les variations de quelques fonctions de base (x², |x|, √x, 1/x, x³).

I. Fonctions affines par intervalles

Une fonction est dite affine par intervalles si elle est définie sur un ou plusieurs intervalles disjoints par restrictions de fonctions affines.

Exemple :

{ f(x) = 3x − 2  si x ≤ 4
  f(x) = 1 − x    si x > 4

La représentation graphique d'une telle fonction est une réunion de segments ou de demi-droites.

II. Fonction partie entière

La partie entière d'un réel x, notée E(x), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.

Propriété

Pour tout réel x, il existe un unique entier z tel que :

z ≤ x < z + 1

On a alors E(x) = z.

Exemples

E(7,8) = 7
E(−4,02) = −5
E(9) = 9
E(31,365) = 31

La courbe de la fonction x ↦ E(x) est en "escaliers".

III. Rappels sur quelques fonctions usuelles

Fonction	Domaine	Variations
x ↦ x²	ℝ	décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
x ↦ \|x\|	ℝ	décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
x ↦ √x	[0 ; +∞[	croissante sur [0 ; +∞[
x ↦ 1/x	ℝ* = ℝ \ {0}	décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
x ↦ x³	ℝ	croissante sur ℝ

À retenir : bien connaître le comportement de ces fonctions de base (signe, variations, courbe typique) est indispensable pour l'étude de fonctions plus complexes et pour la résolution de problèmes d'optimisation.

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Créé par Haniel_dev

📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Fonctions affines par intervalles

II. Fonction partie entière

Propriété

Exemples

III. Rappels sur quelques fonctions usuelles