Objectifs de la leçon :- Comprendre la définition d'une homothétie de centre Ω et de rapport k.
- Connaître ses propriétés fondamentales et ses effets sur les longueurs et les aires.
- Savoir déterminer l'image de figures simples et caractériser une homothétie.
I. Définition et premières propriétés
Soit Ω un point du plan et k un réel non nul. L'homothétie de centre Ω et de rapport k est l'application qui, à tout point M, associe un point M' tel que :
⃗ΩM' = k · ⃗ΩM
- On la note h(Ω ; k) et on écrit : h(Ω ; k)(M) = M'.
- Les points Ω, M et M' sont alignés.
Cas particuliers
- k = 1 : application identique (tous les points invariants).
- k = −1 et Ω = O : symétrie centrale de centre O.
II. Point invariant et propriété fondamentale
- Toute homothétie de rapport k ≠ 1 a un unique point invariant : son centre Ω.
- Si M et N sont deux points, d’images M' et N' par h(Ω ; k), alors :
⃗M'N' = k · ⃗MN
Les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k².
III. Images de figures simples
1. Droites et demi-droites
L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
Si la droite contient le centre Ω, elle est globalement invariante.
2. Segments
Si A et B ont pour images A' et B' par h(Ω ; k), alors :
h([AB]) = [A'B'] et A'B' = |k| · AB
3. Cercles
L'image d'un cercle de centre O et de rayon r est un cercle de centre O' = h(O) et de rayon r' = |k|·r.
IV. Quelques conséquences de conservation
- Des points alignés ont pour images des points alignés.
- Le milieu d'un segment a pour image le milieu de l'image de ce segment.
- Deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles.
- Deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires.
- Un angle orienté a pour image un angle de même mesure.
Conclusion : une homothétie conserve les formes (triangles, parallélogrammes, cercles...) mais modifie les dimensions en les multipliant par |k|.
V. Caractérisation d'une homothétie
- Par un centre, un point et son image :
Soient A, B, C alignés, deux à deux distincts. Il existe une unique homothétie de centre A qui envoie B sur C. - Par un rapport, un point et son image :
Étant donnés un rapport k ≠ 0,1 et deux points A, B, il existe une unique homothétie de rapport k envoyant A sur B. Son centre est déterminé en utilisant la relation vectorielle. - Par deux points et leurs images :
Si M, N et M', N' sont quatre points tels que (MN) et (M'N') soient parallèles, il existe au plus une homothétie qui envoie M sur M' et N sur N'.
Astuce : pour construire le centre d'une homothétie envoyant A sur A' et B sur B', on coupe les droites (AA') et (BB') : leur intersection est le centre recherché.
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