Objectifs de la leçon :- Comprendre ce qu'est une équation dans ℝ et ce que signifie "résoudre" une équation.
- Savoir déterminer l'ensemble de validité d'une équation.
- Résoudre des équations simples (polynômes, fractions rationnelles, valeurs absolues) et des inéquations de base.
I. Notion d'équation dans ℝ
Soient f et g deux fonctions de ℝ vers ℝ. L'équation dans ℝ :
(E) : f(x) = g(x)
est une égalité contenant une inconnue x réelle.
- Le référentiel est l'ensemble dans lequel on cherche les solutions (souvent ℝ ou ℝ+).
- Une solution de (E) est un réel x pour lequel f(x) = g(x).
- L'ensemble de validité est Df ∩ Dg (là où f et g sont définies).
Équations équivalentes
Deux équations sont dites équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions.
II. Résolution d'équations simples
1. Équations polynomiales
Pour résoudre une équation du type P(x) = Q(x) où P et Q sont des polynômes :
- On se ramène à H(x) = 0 avec H(x) = P(x) − Q(x).
- On factorise si possible H.
- On cherche les racines de H (solutions).
2. Équations avec fractions rationnelles
Pour résoudre f(x) = g(x) avec f et g fractions rationnelles :
- On détermine l'ensemble de validité (exclure les valeurs qui annulent les dénominateurs).
- On se ramène à une équation P(x) = Q(x) entre polynômes.
- On résout cette équation polynomiale.
- On élimine les solutions interdites par l'ensemble de validité.
3. Équations avec valeurs absolues
Pour résoudre |f(x)| = |g(x)|, on utilise l'équivalence :
|f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) ou f(x) = −g(x)
- On résout successivement f(x) = g(x) et f(x) = −g(x).
- L'ensemble des solutions est la réunion des ensembles solutions obtenus.
III. Inéquations simples
Une inéquation est une relation du type f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x), etc.
- Pour une inéquation polynomiale, on se ramène à H(x) ≥ 0 ou H(x) ≤ 0, puis on étudie le signe de H(x).
- On utilise des tableaux de signes pour résumer les intervalles de positivité / négativité.
À retenir : bien poser le référentiel, l'ensemble de validité et transformer proprement l'équation (ou l'inéquation) sont des étapes essentielles pour éviter les erreurs de solution.
Créé par Haniel_dev