Objectifs de la leçon :- Définir le produit scalaire de deux vecteurs.
- Connaître ses principales propriétés et son interprétation géométrique.
- Calculer un produit scalaire dans des situations simples (angles connus, projections).
I. Définition du produit scalaire
Soient deux vecteurs u et v. On appelle produit scalaire de u par v le nombre réel noté u·v défini par :
u·v = ||u|| × ||v|| × cos(𝛼)
où 𝛼 est la mesure de l'angle orienté entre u et v.
- Si u = 0⃗ ou v = 0⃗, on pose u·v = 0.
- On lit « u scalaire v ».
Cas particuliers
- Si u et v sont colinéaires et de même sens, u·v = ||u||·||v||.
- Si u et v sont colinéaires et de sens contraire, u·v = −||u||·||v||.
- Si u et v sont orthogonaux, u·v = 0.
II. Interprétation géométrique
Pour trois points A, B, C :
AB·AC = AB × AH
où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
Le produit scalaire dépend donc de la longueur de la projection d'un vecteur sur la direction de l'autre.
III. Propriétés du produit scalaire
- Commutativité : u·v = v·u.
- Linéarité : (u + v)·w = u·w + v·w ; (k·u)·v = k(u·v).
- Inégalité : |u·v| ≤ ||u||·||v||.
- Carré scalaire : u·u = ||u||².
Pour tous points A et B, AB·AB = ||AB||² = AB².
IV. Applications simples
1. Calcul direct
- Si ||u|| et ||v|| sont connus ainsi que l'angle entre eux, appliquer directement la formule
u·v = ||u||·||v||·cos(𝛼). - Si u et v sont colinéaires, utiliser les cas particuliers (même sens / sens contraire).
2. Critère d'orthogonalité
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0.
Ce critère permet de montrer qu'un angle est droit.
À retenir : le produit scalaire relie longueur et angle. C'est un outil central pour la géométrie du plan et de l'espace, et pour la mécanique (travail d'une force, par exemple).
Créé par Haniel_dev