Objectifs de la leçon :- Maîtriser les opérations sur les quotients (fractions) : addition, soustraction, produit, quotient.
- Savoir manipuler les puissances (exposants positifs, nuls ou négatifs) et les radicaux simples.
- Utiliser la proportionnalité et les pourcentages pour résoudre des problèmes concrets.
I. Opérations avec les quotients
1. Addition et soustraction de quotients
- On considère des nombres réels
a, b, c, d avec b ≠ 0 et d ≠ 0. - Si les dénominateurs sont égaux :
a/b ± c/b = (a ± c)/b. - Si les dénominateurs sont différents :
a/b ± c/d = (ad ± bc)/(bd).
Méthode : pour additionner ou soustraire deux fractions, on les met d’abord au même dénominateur, puis on additionne ou on soustrait les numérateurs.
2. Produit et quotient de quotients
- Produit :
a/b × c/d = (ac)/(bd) (avec b ≠ 0 et d ≠ 0). - Quotient : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (ad)/(bc) (avec b, c, d ≠ 0).
À retenir : on simplifie toujours les fractions (si possible) après le calcul pour obtenir un résultat irréductible.
II. Puissances
Soit a un nombre réel et n un entier naturel non nul :
- Définition :
aⁿ = a × a × ... × a (n facteurs égaux à a). - Par convention, pour
a ≠ 0 : a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Propriétés des puissances
aⁿ × aᵖ = aⁿ⁺ᵖaⁿ / aᵖ = aⁿ⁻ᵖ (avec a ≠ 0)(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (avec b ≠ 0)aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ(aⁿ)ᵖ = aⁿᵖ
Idée-clé : les puissances permettent de simplifier l’écriture de produits répétés et d’utiliser des règles algébriques rapides.
III. Radicaux
On note √a la racine carrée positive d’un nombre réel positif a.
Pour des nombres réels positifs a et b, et un entier naturel n :
√(ab) = √a × √b- Si
b ≠ 0, alors √(a/b) = √a / √b √(aⁿ) = (√a)ⁿ lorsque c’est défini
Exemple : √36 × 81 = √36 × √81 = 6 × 9 = 54
IV. Proportionnalité
Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si l’une est le produit de l’autre par un nombre réel non nul k (coefficient de proportionnalité) : y = kx.
1. Tableaux de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, les valeurs de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant celles de la première ligne par le même nombre k.
Idée : si on multiplie une ligne par un nombre, on doit multiplier l’autre par le même nombre.
V. Pourcentages
1. Pourcentage d’une quantité
Le pourcentage k% d’une quantité a est le nombre :
k% de a = a × k / 100
Exemple : 20% de 40 kg = 40 × 20 / 100 = 8 kg.
2. Augmentation et réduction en pourcentage
- Augmenter une quantité
a de k% revient à multiplier a par (1 + k/100). - Réduire une quantité
a de k% revient à multiplier a par (1 − k/100).
Exemple :
- Réduction de 30% sur 2000 F :
2000 × (1 − 30/100) = 1400 F. - Augmentation de 30% sur 2000 F :
2000 × (1 + 30/100) = 2600 F.
3. Produit de pourcentages
Pour calculer a% de b% d’une quantité, on applique successivement les deux pourcentages, ce qui revient à multiplier la quantité par (a/100) × (b/100).
À retenir : les pourcentages sont des cas particuliers de proportionnalité, à bien maîtriser pour les problèmes économiques (réductions, promotions, intérêts, etc.).
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