I. Dérivabilité en un point
Nombre dérivé : f est dérivable en x₀ si le taux d'accroissement (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) admet une limite finie en x₀. Cette limite est notée f′(x₀).
Exemple : f(x) = x² − 2 → f′(3) = limx→3 (x²−9)/(x−3) = lim (x+3) = 6.
Contre-exemple : g(x) = √x → limx→0⁺ 1/√x = +∞ (pas finie) → g non dérivable en 0.
Interprétation graphique — tangente : si f est dérivable en x₀, (Cf) admet au point d'abscisse x₀ une tangente (T) de coefficient directeur f′(x₀), d'équation :
y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)
Dérivabilité ⟹ continuité en x₀.
⚠️ Réciproque fausse : √x est continue en 0 mais pas dérivable en 0. Par contre : non continue ⟹ non dérivable (contraposée vraie).
II. Fonction dérivée
Dérivée sur un intervalle : f dérivable sur un intervalle ouvert K si elle est dérivable en chaque point de K. La fonction f′ : x ↦ f′(x) est la fonction dérivée. L'ensemble de dérivabilité est l'ensemble des points où f est dérivable.
1. Dérivées des fonctions de référence
| f(x) | f′(x) | Dérivable sur |
|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| ax + b | a | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℕ*) | n xⁿ⁻¹ | ℝ |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
| 1/x | −1/x² | ℝ* |
| 1/xⁿ | −n/xⁿ⁺¹ | ℝ* |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
| tan x | 1 + tan²x = 1/cos²x | ℝ ∖ {π/2 + kπ} |
2. Opérations sur les dérivées
| f(x) | f′(x) |
|---|
| u + v | u′ + v′ |
| u × v | u′v + uv′ |
| a·u (a ∈ ℝ) | a·u′ |
| 1/u (u ≠ 0) | −u′/u² |
| u/v (v ≠ 0) | (u′v − uv′)/v² |
| (ax + b)ⁿ | n·a·(ax + b)ⁿ⁻¹ |
| √(ax + b) | a/(2√(ax + b)) |
| sin(ax + b) | a·cos(ax + b) |
| cos(ax + b) | −a·sin(ax + b) |
Exemple : f(x) = (25x − 1)⁴ → f′(x) = 4 × 25 × (25x − 1)³ = 100(25x − 1)³.
III. Applications de la dérivation
1. Signe de f′ et sens de variation
Soit f dérivable sur un intervalle ouvert K :
- f′ ≥ 0 sur K ⟺ f croissante sur K ; f′ ≤ 0 ⟺ f décroissante ;
- f′ > 0 sur K ⟺ f strictement croissante ; f′ < 0 ⟺ strictement décroissante ;
- f′ = 0 sur K ⟺ f constante.
Cas particulier : si f′ garde un signe et ne s'annule qu'en un
nombre fini de points → f est
strictement monotone.
Méthode — étude de variations :
- 1. Calculer f′(x) et le factoriser ;
- 2. Résoudre f′(x) = 0 et étudier le signe de f′ ;
- 3. Conclure sur les intervalles de monotonie et dresser le tableau de variation.
Exemple : f(x) = x³ − 3x → f′(x) = 3(x+1)(x−1) → croissante sur ]−∞;−1[ et ]1;+∞[, décroissante sur ]−1;1[.
2. Extremums relatifs
Extremum relatif : si f′
s'annule et change de signe en x₀, alors f(x₀) est un extremum relatif :
- f′ passe de + à − → maximum relatif ;
- f′ passe de − à + → minimum relatif.
Application — optimisation : pour maximiser/minimiser une grandeur, on la modélise par une fonction f(x), on étudie f′, et l'extremum donne la solution.
Exemple : A(x) = 2x² + 32/x (aire d'une caisse de volume 8 m³) → f′(x) = (4/x²)(x³ − 8) → minimum en x = 2 → cube de 2 m.
⚠️ Pièges fréquents :
- La dérivée exige une limite finie : limite infinie ou inexistante → non dérivable ;
- f′(a) = 0 → tangente horizontale en a (pas verticale) ;
- f′(x₀) = 0 ne suffit pas : il faut un changement de signe pour un extremum ;
- Ne pas confondre le signe de f avec le signe de f′ : c'est f′ qui donne les variations ;
- Toujours préciser l'ensemble de dérivabilité (ex. √x dérivable sur ]0;+∞[ seulement).
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