I. Composée de deux translations
Propriété caractéristique de la translation : f est une translation ⟺ pour tous points M et N d'images M′ et N′ : MN⃗ = M′N′⃗.
Composée : t
û ∘ t
v̂ = t
û+v̂ (translation de vecteur û + v̂).
- Commutative : tû ∘ tv̂ = tv̂ ∘ tû
- Réciproque de tû : t−û
- Expression analytique (û(a ; b)) : x′ = x + a ; y′ = y + b
II. Composée de deux rotations
Même centre O : r(O, α) ∘ r(O, θ) = r(O, α + θ). Commutative. Réciproque de r(O, α) : r(O, −α).
Centres différents A et B :
- Si α̂ + θ̂ = 0̂ → la composée est une translation (vecteur BB′⃗ où B′ = r(A,α)(B) ou l'image d'un point quelconque) ;
- Si α̂ + θ̂ ≠ 0̂ → la composée est une rotation d'angle α̂ + θ̂. Pour trouver son centre : construire les images de deux points ; le centre est l'intersection des médiatrices de [BB′] et [EE′] (ou des droites (EB) et (E′B′) si les médiatrices coïncident).
⚠️ En général la composée de deux rotations de centres distincts n'est pas commutative. Toute rotation d'angle π est une symétrie centrale.
III. Composée de deux homothéties
Même centre O : h(O, k) ∘ h(O, k′) = h(O, kk′). Commutative.
Centres différents A et B :
- Si kk′ = 1 → la composée est une translation ;
- Si kk′ ≠ 1 → la composée est une homothétie de rapport kk′.
Détermination des éléments :
- Translation : vecteur MM′⃗ où M′ est l'image d'un point M quelconque ;
- Homothétie : la droite (AB) des centres est invariante → le centre O appartient à (AB). Pour un point E ∉ (AB) d'image E′ : O = (AB) ∩ (EE′).
⚠️ En général h(A, k) ∘ h(B, k′) ≠ h(B, k′) ∘ h(A, k).
Exemples : h(O,−2) ∘ h(O′,4) → rapport −8 ≠ 1 → homothétie ; h(A,3) ∘ h(B,1/3) → 3×1/3 = 1 → translation.
IV. Composée de deux symétries orthogonales
Axes (D) et (D′) parallèles → translation :
S(D′) ∘ S(D) = translation de vecteur 2OO′⃗, où O ∈ (D) et O′ est le projeté orthogonal de O sur (D′).
(L'ordre compte : S(D) ∘ S(D′) = translation de vecteur 2O′O⃗.)
Axes (D) et (D′) sécants en O → rotation :
S(D′) ∘ S(D) = rotation de centre O et d'angle 2(û, v̂) (û, v̂ vecteurs directeurs de (D) et (D′)).
Cas particulier : axes perpendiculaires en O → la composée est la symétrie centrale SO (commutative : S(D′) ∘ S(D) = S(D) ∘ S(D′) = SO).
Tableau récapitulatif
| Composée | Condition | Nature | Éléments |
|---|
| tû ∘ tv̂ | — | Translation | vecteur û + v̂ |
| r(O,α) ∘ r(O,θ) | même centre | Rotation | centre O, angle α + θ |
| r(A,α) ∘ r(B,θ) | α̂ + θ̂ = 0̂ | Translation | vecteur image d'un point |
| r(A,α) ∘ r(B,θ) | α̂ + θ̂ ≠ 0̂ | Rotation | angle α̂ + θ̂, centre via médiatrices |
| h(O,k) ∘ h(O,k′) | même centre | Homothétie | centre O, rapport kk′ |
| h(A,k) ∘ h(B,k′) | kk′ = 1 | Translation | vecteur image d'un point |
| h(A,k) ∘ h(B,k′) | kk′ ≠ 1 | Homothétie | rapport kk′, centre ∈ (AB) |
| S(D′) ∘ S(D) | axes ∥ | Translation | vecteur 2OO′⃗ |
| S(D′) ∘ S(D) | axes sécants en O | Rotation | centre O, angle 2(û,v̂) |
| S(D′) ∘ S(D) | axes ⊥ en O | Symétrie centrale | centre O |
⚠️ Pièges fréquents :
- Dans f ∘ g, c'est g qui s'applique en premier : f ∘ g(M) = f(g(M)) ;
- Pour les centres différents, calculer d'abord la somme des angles (rotations) ou le produit des rapports (homothéties) avant de conclure à la nature ;
- La composée de symétries d'axes sécants a pour angle le double de l'angle des axes, pas l'angle lui-même ;
- Pour trouver le centre d'une homothétie-composée : toujours sur la droite des centres + intersection avec (EE′).
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