MATHS 1C L7 Extension de la notion de limite — Mathematiques Premiere C

Limites de référence (a ∈ ℝ, n ∈ ℕ*) :

lim_x→a 1/(x−a)ⁿ = +∞ si n pair
lim_x→a⁺ 1/(x−a)ⁿ = +∞ (n pair ou impair)
lim_x→a⁻ 1/(x−a)ⁿ = −∞ si n impair

Cas particuliers : lim_x→0⁺ 1/x = +∞ ; lim_x→0⁻ 1/x = −∞.

Asymptote verticale : si l'une des limites lim_x→a⁻ f(x), lim_x→a⁺ f(x) ou lim_x→a f(x) est infinie, la droite d'équation x = a est asymptote verticale à (Cf).
Exemple : f(x) = 1 + 1/(x+1) → lim_x→−1⁺ f(x) = +∞ → x = −1 asymptote verticale.

II. Limite à l'infini

Fonctions élémentaires :

lim_x→±∞ c = c ; lim_x→+∞ x = +∞
lim_x→+∞ xⁿ = +∞ ; lim_x→−∞ xⁿ = +∞ si n pair, −∞ si n impair
lim_x→+∞ 1/xⁿ = 0 et lim_x→−∞ 1/xⁿ = 0

Asymptote horizontale : si lim_x→+∞ f(x) = b (b ∈ ℝ), la droite y = b est asymptote horizontale à (Cf) en +∞ (idem en −∞ si lim_x→−∞ f(x) = b).

III. Opérations sur les limites

1. Somme f + g

lim f	l	−∞	+∞	+∞	−∞
lim g	l′	l′	l′	+∞	−∞
lim (f+g)	l+l′	−∞	+∞	+∞	F.I.

Forme indéterminée : +∞ − ∞.

2. Produit f × g

lim f	l	−∞	−∞	+∞	+∞	±∞	±∞
lim g	l′	l′>0	l′<0	l′>0	l′<0	+∞	0
lim (f×g)	l×l′	−∞	+∞	+∞	−∞	±∞ (règle des signes)	F.I.

Forme indéterminée : 0 × ∞.

3. Inverse 1/f et quotient f/g

lim f	l ≠ 0	+∞ ou −∞	0 avec f > 0	0 avec f < 0
lim 1/f	1/l	0	+∞	−∞

Quotient : f/g = f × (1/g). Si lim g = l′ ≠ 0 → lim f/g = l/l′ ; si lim f = 0 et lim g = 0 → F.I. (0/0) ; si lim g = 0 et f ≠ 0 → limite infinie (signe selon côtés).

Les 4 formes indéterminées à retenir : +∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; 0/0 ; ∞/∞. Dans chaque cas, il faut transformer l'écriture (factoriser, conjuguer, changer de variable) avant de conclure.

IV. Limites à l'infini : polynômes et rationnelles

Fonction polynôme : en ±∞, le polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.
Exemple : lim_x→+∞ (3x² − 4x + 2) = lim_x→+∞ 3x² = +∞.

Fonction rationnelle : en ±∞, le quotient a la même limite que le quotient des monômes de plus haut degré.
Exemple : lim_x→+∞ (x+3)/(2x−7) = lim_x→+∞ x/2x = 1/2 → asymptote horizontale y = 1/2.

V. Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison :

Si g ≤ f et lim g = +∞ → lim f = +∞
Si f ≤ g et lim g = −∞ → lim f = −∞

Exemple type : f(x) = 2x + cos(x²). Comme −1 ≤ cos(x²) ≤ 1 : 2x − 1 ≤ f(x) ≤ 2x + 1.
f ≤ 2x+1 et lim_x→−∞(2x+1) = −∞ → lim_x→−∞ f = −∞ ; f ≥ 2x−1 et lim_x→+∞(2x−1) = +∞ → lim_x→+∞ f = +∞.

⚠️ Pièges fréquents :

lim 1/f = 0 quand f → ±∞, mais si f → 0 il faut connaître le signe de f (0⁺ → +∞ ; 0⁻ → −∞) ;
Une asymptote verticale x = a vient d'une limite infinie en a ; une asymptote horizontale y = b vient d'une limite finie à l'infini — ne pas inverser ;
Pour 0×∞ ou 0/0, toujours factoriser ou multiplier par l'expression conjuguée (√u − v) × (√u + v) = u − v² ;
La règle des signes s'applique aux limites infinies comme aux nombres : (+∞) × (−∞) = −∞.

📝 FICHE DE RÉSUMÉ

I. Limite infinie en un point