I. Mesures d'un angle orienté
Mesure d'un angle orienté (û, v̂) : tout nombre réel de la forme α + 2kπ (k ∈ ℤ), où α est la mesure principale. Toutes les mesures d'un même angle correspondent au même point image M sur le cercle trigonométrique (C).
Mesure principale : l'unique mesure appartenant à ]−π ; π].
Méthode : écrire α = x + 2kπ avec −π < α ≤ π → déterminer k grâce à −π < x + 2kπ ≤ π, puis calculer α.
Exemple : x = −119π/4 → k = 15 → α = π/4.
II. Propriétés des angles orientés
1. Relation de Chasles et conséquences
Relation de Chasles : (û, v̂) + (v̂, ŵ) = (û, ŵ)
- (v̂, û) = −(û, v̂)
- k > 0 : (kû, v̂) = (û, kv̂) = (û, v̂)
- k < 0 : (kû, v̂) = (û, kv̂) = (û, v̂) + π̂
- (kû, kv̂) = (û, v̂)
2. Double d'un angle orienté
2(û, v̂) = (û, v̂) + (û, v̂), de mesure 2α. Propriétés :
- 2α̂ = 0̂ ⟺ α̂ = 0̂ ou α̂ = π̂
- 2α̂ = 2β̂ ⟺ α̂ = β̂ ou α̂ = β̂ + π̂
- 2α̂ = π̂ ⟺ α̂ = π/2̂ ou α̂ = −π/2̂
Application : 2(AB⃗, AC⃗) = 0̂ ⟺ AB⃗ et AC⃗ colinéaires ⟺ A, B, C alignés.
3. Angles orientés et cercle
Angle inscrit / angle au centre : pour (C) de centre O et M ∈ (C) : 2(MA⃗, MB⃗) = (OA⃗, OB⃗) (à π̂ près selon la position de M).
Caractérisation : M ∈ (C) ⟺ 2(MA⃗, MB⃗) = (OA⃗, OB⃗).
Cocyclicité : A, B, C, D cocycliques ⟺ 2(CA⃗, CB⃗) = 2(DA⃗, DB⃗).
III. Lignes trigonométriques
Sur le cercle trigonométrique, M image de α : cos α = abscisse de M ; sin α = ordonnée de M ; tan α = sin α / cos α (définie si α ≠ π/2 + kπ).
Valeurs remarquables :
| α | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
|---|
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1 |
|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
|---|
| tan α | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | — | 0 |
|---|
Angles associés
| Angle | cosinus | sinus |
|---|
| −α | cos α | −sin α |
| π − α | −cos α | sin α |
| π + α | −cos α | −sin α |
| π/2 − α | sin α | cos α |
| π/2 + α | −sin α | cos α |
Tangentes : tan(−α) = −tan α ; tan(π−α) = −tan α ; tan(π+α) = tan α.
IV. Formules trigonométriques
Formules d'addition :
- cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
- cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Duplication : cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a ; sin 2a = 2 sin a cos a.
Linéarisation : cos²a = (1 + cos 2a)/2 ; sin²a = (1 − cos 2a)/2.
Produit → somme : 2 sin a cos b = sin(a+b) + sin(a−b).
Fonctions circulaires
- sin et cos : ℝ → ℝ, périodiques de période 2π ;
- tan : définie sur ℝ \ {π/2 + kπ}, continue sur son ensemble de définition, période π.
V. Équations trigonométriques
Formes de base (k ∈ ℤ) :
- cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ
- sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ
- tan x = tan a ⟺ x = a + kπ (x, a ≠ π/2 + kπ)
Cas particuliers à connaître :
- cos x = 1 → x = 2kπ ; cos x = −1 → x = (2k+1)π ; cos x = 0 → x = π/2 + kπ
- sin x = 1 → x = π/2 + 2kπ ; sin x = −1 → x = −π/2 + 2kπ ; sin x = 0 → x = kπ
Équation a cos x + b sin x + c = 0
Méthode :
- 1. Factoriser : a cos x + b sin x = √(a²+b²) · [a/√(a²+b²) · cos x + b/√(a²+b²) · sin x]
- 2. Trouver α tel que cos α = a/√(a²+b²) et sin α = b/√(a²+b²)
- 3. Alors a cos x + b sin x = √(a²+b²) · cos(x − α)
- 4. Résoudre cos(x − α) = −c/√(a²+b²)
Exemple : √3 cos x + sin x = √2 → 2 cos(x − π/6) = √2 → cos(x − π/6) = cos(π/4).
⚠️ Pièges fréquents :
- La mesure principale est dans ]−π ; π] (π inclus, −π exclu) ;
- Ne pas oublier la deuxième famille de solutions pour cos x = cos a (x = −a + 2kπ) et sin x = sin a (x = π − a + 2kπ) ;
- Pour tan, la période est π et non 2π : x = a + kπ ;
- Vérifier toujours que les solutions trouvées appartiennent à l'intervalle demandé (tester les valeurs de k).
Créé par Haniel_dev