I. Notion de limite
Limite en a : On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si, en choisissant x « suffisamment proche de a », on obtient f(x) « suffisamment proche de l ».
On note : limx→a f(x) = l. La limite, quand elle existe, est unique.
Propriété : Si f est définie en a et admet une limite en a, alors limx→a f(x) = f(a).
II. Continuité en un point
Fonction continue en a : f est continue en a lorsque f est définie en a et admet une limite en a, c'est-à-dire : limx→a f(x) = f(a).
Graphiquement : la courbe se trace « sans lever le crayon » au point d'abscisse a.
⚠️ Condition nécessaire : Pour que f soit continue en a, il faut d'abord qu'elle soit définie en a. Si a ∉ Df, f ne peut pas être continue en a.
1. Fonctions élémentaires
Continues en tout point de leur ensemble de définition : x ↦ c (constante) ; x ↦ xⁿ ; x ↦ 1/x ; x ↦ √x ; x ↦ |x| ; x ↦ cos x ; x ↦ sin x.
Conséquence : pour ces fonctions, limx→a f(x) = f(a) se calcule par simple substitution (ex. limx→49 √x = 7).
2. Opérations sur les fonctions continues
Si f et g sont continues en a :
- f + g, fg, kf (k ∈ ℝ) et |f| sont continues en a ;
- si g(a) ≠ 0, alors 1/g et f/g sont continues en a ;
- si f est positive, alors √f est continue en a.
Toute somme, produit ou quotient de fonctions élémentaires est continue en tout point de son ensemble de définition.
III. Limites à gauche et à droite
Limite à gauche en a (notée limx→a< f(x)) : limite quand x s'approche de a avec x < a.
Limite à droite en a (notée limx→a> f(x)) : limite quand x s'approche de a avec x > a.
Critère d'existence d'une limite :
- f non définie en a : f admet la limite l en a ⟺ limx→a< f(x) = limx→a> f(x) = l ;
- f définie en a : f admet une limite en a ⟺ limx→a< f(x) = limx→a> f(x) = f(a).
Continuité : f continue en a ⟺ lim
x→a< f(x) = lim
x→a> f(x) = f(a).
Exemple type (fonction par morceaux) : f(x) = x² si x ≤ 3 et f(x) = 2x+1 si x > 3.
limx→3< f(x) = 3² = 9 ; limx→3> f(x) = 2(3)+1 = 7. Les limites diffèrent → f n'admet pas de limite en 3 → f n'est pas continue en 3.
IV. Calcul de limites
Opérations (si lim f = l et lim g = l′ en a) :
- lim (f + g) = l + l′ ;
- lim (f × g) = l × l′ ;
- lim (f/g) = l/l′ si l′ ≠ 0.
Lever une forme 0/0 : quand numérateur et dénominateur s'annulent en a, on factorise par (x − a) puis on simplifie.
Exemple : limx→4 (x−4)/(√x−2) = limx→4 (x−4)(√x+2)/(x−4) = limx→4 (√x+2) = 4.
⚠️ Pièges fréquents :
- Ne pas confondre limx→a< (à gauche, x < a) et limx→a> (à droite, x > a) ;
- Pour une fonction définie par morceaux, calculer les DEUX limites latérales + f(a) et comparer les trois ;
- Une limite peut exister en a sans que f soit continue en a (cas où f n'est pas définie en a) ;
- Si les deux limites latérales sont différentes, conclure directement : pas de limite, pas de continuité.
Créé par Haniel_dev