I. Ensembles finis et cardinaux
Cardinal : Le cardinal d'un ensemble fini E, noté Card(E), est le nombre d'éléments de E.
Réunion A ∪ B : éléments appartenant à A ou à B. Intersection A ∩ B : éléments appartenant à la fois à A et à B.
Formule fondamentale : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
Complémentaire : Le complémentaire de A dans E, noté CᴇA ou Ā, est l'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à A.
A ∪ Ā = E ; A ∩ Ā = ∅ ; card(E) = card(A) + card(Ā)
Produit cartésien A × B : ensemble des couples (a ; b) avec a ∈ A et b ∈ B. On a A × A = A², A × A × … × A = Aⁿ (n fois) dont les éléments sont les n-uplets.
II. Les p-uplets (ou p-listes)
p-uplet : Élément de Eᵖ : une liste ordonnée de p éléments de E. L'ordre compte et la répétition est autorisée (un même élément peut apparaître plusieurs fois).
Nombre de p-uplets d'un ensemble à n éléments : nᵖ
Exemple : un numéro de téléphone à 8 chiffres (chiffres répétables) → 10⁸ numéros possibles.
III. Les arrangements
Arrangement de p éléments : Tout p-uplet d'éléments de E deux à deux distincts (ordre important, répétition impossible).
Aₙᵖ = n × (n−1) × … × (n−p+1) = n!/(n−p)!
C'est le produit de p entiers consécutifs dont le plus grand est n. Cas particuliers : Aₙ¹ = n ; Aₙ⁰ = 1.
IV. Les permutations
Permutation : Tout arrangement des n éléments de E (on ordonne tous les éléments).
Nombre de permutations : Aₙⁿ = n! avec n! = n × (n−1) × … × 2 × 1 (« factorielle n »). Exemple : les mots formés avec les 6 lettres de KENDAL → 6! = 720.
V. Les combinaisons
Combinaison de p éléments : Tout sous-ensemble de E ayant p éléments (écriture avec accolades {…} : l'ordre ne compte pas, répétition impossible).
Cₙᵖ = Aₙᵖ/p! = n!/[p!(n−p)!]
Propriétés : Cₙⁿ⁻ᵖ = Cₙᵖ et pour 0 < p < n : Cₙ₋₁ᵖ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵖ = Cₙᵖ (formule de Pascal).
VI. Choisir la bonne formule : les modèles de tirages
| Type de tirage | Ordre / Répétition | Formule |
|---|
| Simultané de p parmi n | Ordre indifférent | Cₙᵖ |
| Successif sans remise de p parmi n | Ordre important, sans répétition | Aₙᵖ |
| Successif sans remise de n parmi n | Ordonner tout l'ensemble | n! |
| Successif avec remise de p parmi n | Ordre important, répétition possible | nᵖ |
Vocabulaire et complémentaire :
- « Tirer au moins n éléments » → complémentaire : « tirer au plus n−1 »
- « Tirer au plus n éléments » → complémentaire : « tirer au moins n+1 »
- Astuce : pour « au moins un », il est souvent plus rapide de calculer le total moins « aucun » (ex. mains d'au moins un as : C₃₂⁸ − C₂₈⁸).
Technique des tirages avec conditions : on multiplie les choix par catégorie. Ex. une main de 8 cartes avec exactement 2 as et 6 non-as : C₄² × C₂₈⁶.
VII. Binôme de Newton
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏ aᵏbⁿ⁻ᵏ
Les coefficients Cₙᵖ se lisent dans le triangle de Pascal :
n=1 : 1 1 · n=2 : 1 2 1 · n=3 : 1 3 3 1 · n=4 : 1 4 6 4 1 · n=5 : 1 5 10 10 5 1
⚠️ Pièges fréquents :
- Confondre arrangement (ordre compte, parenthèses) et combinaison (ordre indifférent, accolades) ;
- Dans un p-uplet la répétition est permise, jamais dans un arrangement ni une combinaison ;
- Oublier de retirer Card(A ∩ B) dans Card(A ∪ B) → double comptage ;
- Pour (a − b)ⁿ, les signes alternent : (a−b)⁵ = a⁵ − 5a⁴b + 10a³b² − 10a²b³ + 5ab⁴ − b⁵.
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