I. Applications
1. Définition
Application : Une application f d'un ensemble E dans un ensemble F est une correspondance qui, à
tout élément x de E, associe un élément y de F.
- y = f(x) est l'image de x ; x est un antécédent de y ;
- E = ensemble de départ ; F = ensemble d'arrivée.
2. Application injective
Injection : f est injective lorsque tout élément de F admet au plus un antécédent dans E (0 ou 1 antécédent).
Point méthode : f est injective ⟺ pour tout b ∈ F, l'équation f(x) = b admet au plus une solution dans E.
Propriété équivalente : f injective ⟺ pour tous a, b ∈ E, f(a) = f(b) ⟹ a = b.
3. Application surjective
Surjection : f est surjective lorsque tout élément de F admet au moins un antécédent dans E (1 ou plusieurs).
Point méthode : f est surjective ⟺ pour tout b ∈ F, l'équation f(x) = b admet au moins une solution dans E.
4. Application bijective
Bijection : f est bijective lorsque tout élément de F admet un unique antécédent dans E.
Propriété clé : f est une bijection ⟺ f est à la fois injective et surjective.
Vérification graphique : f : K → L est bijective si toute droite y = b (b ∈ f(K)) coupe (Cf) en un unique point d'abscisse dans K.
5. Bijection réciproque
Bijection réciproque : Si f est une bijection de E dans F, sa bijection réciproque f⁻¹ est l'application de F dans E qui, à tout élément de F, associe son unique antécédent par f.
À retenir :
- f⁻¹of = application identique de E ; fof⁻¹ = application identique de F ;
- (Cf) et (Cf⁻¹) sont symétriques par rapport à la première bissectrice y = x (repère orthonormé) ;
- Exemple : f : ]−∞;0] → [0;+∞[, f(x) = x² → f⁻¹(x) = −√x.
II. Compléments sur les fonctions
1. Restriction d'une fonction
Restriction : Soit f une fonction de E vers F et A une partie non vide de l'ensemble de définition de f. La restriction de f à A est l'application g : A → F définie par g(x) = f(x).
2. Opérations sur les fonctions numériques
| Fonction | Ensemble de définition | Expression |
|---|
| Somme f + g | Df ∩ Dg | (f+g)(x) = f(x) + g(x) |
| Produit fg | Df ∩ Dg | (fg)(x) = f(x) × g(x) |
| Quotient f/g | Df ∩ Dg ∩ {x / g(x) ≠ 0} | (f/g)(x) = f(x)/g(x) |
3. Comparaison de deux fonctions
f ≤ g sur I ⟺ pour tout x ∈ I, f(x) ≤ g(x) ; f ≥ g sur I ⟺ pour tout x ∈ I, f(x) ≥ g(x).
Point méthode :
- Algébrique : étudier le signe de f(x) − g(x) sur I (≤ 0 → f ≤ g ; ≥ 0 → f ≥ g) ;
- Graphique : (Cf) au-dessous de (Cg) → f ≤ g ; au-dessus → f ≥ g.
4. Composition de fonctions
Composée : gof (lire « g rond f ») est définie par gof(x) = g[f(x)] : on applique d'abord f, puis g.
Ensemble de définition : x ∈ Dgof ⟺ x ∈ Df et f(x) ∈ Dg.
5. Représentations graphiques des fonctions associées
Dans un repère (O, I, J), (Cg) se déduit de (Cf) ainsi :
| Fonction g | Transformation de (Cf) |
|---|
| x ↦ f(x − a) | Translation de vecteur a·OI |
| x ↦ f(x) + b | Translation de vecteur b·OJ |
| x ↦ f(x − a) + b | Translation de vecteur a·OI + b·OJ |
| x ↦ f(−x) | Symétrie orthogonale d'axe (OJ) |
| x ↦ −f(x) | Symétrie orthogonale d'axe (OI) |
| x ↦ −f(−x) | Symétrie centrale de centre O |
⚠️ Pièges fréquents :
- Injective ≠ surjective : compter les antécédents — « au plus un » vs « au moins un » ;
- Pour prouver qu'une fonction n'est pas surjective, exhiber un élément de F sans antécédent (ex. y = 5 pour f(x) = (5x+3)/(x+2)) ;
- Pour déterminer f⁻¹ : résoudre y = f(x) en x en respectant l'ensemble de départ (ex. x = −√y car x ≤ 0) ;
- Ne pas oublier la condition g(x) ≠ 0 pour l'ensemble de définition du quotient f/g.
Créé par Haniel_dev