I. Séries regroupées en classes
Pour une classe [xᵢ ; xᵢ₊₁[ :
• Amplitude = xᵢ₊₁ − xᵢ ;
• Centre cᵢ = (xᵢ + xᵢ₊₁)/2 ;
• Densité = effectif de la classe / amplitude de la classe.
II. Caractéristiques de position
1. Classe modale
Classe modale : classe dont la densité est maximale (la plus grande concentration d'individus).
Cas particulier : si toutes les classes ont la même amplitude → classe modale = classe d'effectif maximal.
2. Moyenne
x̅ = (1/N) × Σ nᵢcᵢ = (n₁c₁ + … + nₚcₚ)/N, ou avec les fréquences : x̅ = Σ fᵢcᵢ.
⚠️ On utilise les centres de classes cᵢ, pas les bornes.
3. Médiane
Médiane Me : valeur qui sépare la série ordonnée en deux familles de même effectif (50% des valeurs lui sont inférieures ou égales).
Détermination :
- Graphiquement : abscisse du point du polygone des effectifs (ou fréquences) cumulés croissants d'ordonnée N/2 (ou 0,5) ;
- Par calcul (interpolation linéaire) : repérer la classe contenant le rang N/2, puis poser la proportionnalité :
(Me − a)/(b − a) = (N/2 − Nᵢ)/(Nᵢ₊₁ − Nᵢ)
Exemple : N = 104 → N/2 = 52 ∈ ]40 ; 72] → Me ∈ [8 ; 13[ → (Me−8)/(13−8) = (52−40)/(72−40) → Me = 9,87.
4. Quartiles
Q₁ : 25% des valeurs lui sont ≤ (rang N/4) ; Q₂ = médiane ; Q₃ : 75% des valeurs lui sont ≤ (rang 3N/4).
Détermination identique à la médiane par interpolation linéaire sur les effectifs cumulés.
III. Représentations graphiques
- Histogramme : rectangles juxtaposés ; l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence) ; largeur ∝ amplitude ; hauteur ∝ densité ;
- Polygone des effectifs/fréquences : joindre les milieux des sommets des rectangles de l'histogramme ;
- Courbe cumulative (effectifs ou fréquences) : fonction affine par morceaux joignant les points (xᵢ ; Nᵢ) — sert à lire médiane et quartiles.
IV. Caractéristiques de dispersion
Variance : V = (1/N) Σ nᵢ(cᵢ − x̅)²
Formule pratique : V = (1/N) Σ nᵢcᵢ² − x̅²
Écart-type : σ = √V — mesure la dispersion autour de la moyenne (plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées).
Écart absolu moyen : eₘ = (1/N) Σ nᵢ|cᵢ − x̅| — distance moyenne entre les valeurs et la moyenne.
Écart interquartile : Q₃ − Q₁ — amplitude de l'intervalle contenant 50% des valeurs centrales (autour de la médiane).
Lecture/interprétation :
- σ ou eₘ élevé → valeurs dispersées, peu proches de la moyenne ; faible → homogènes ;
- Comparer deux séries : même moyenne mais σ différent → celle au σ le plus faible est plus régulière (ex. choix d'une machine de conditionnement).
⚠️ Pièges fréquents :
- Classe modale = densité max, pas effectif max (sauf amplitudes égales) ;
- Dans l'interpolation : c'est le rang cumulé (N/2, N/4, 3N/4) qu'on compare aux effectifs cumulés, pas la valeur ;
- Ne pas oublier de calculer les centres avant moyenne et variance ;
- Variance = moyenne des cᵢ² moins x̅² — attention à ne pas inverser ;
- L'étendue (max − min) et l'écart interquartile mesurent des dispersions différentes : l'interquartile ignore les valeurs extrêmes.
Créé par Haniel_dev