I. Vecteurs, droites et plans
1. Vecteurs colinéaires et droites
Colinéaires : û et v̂ sont colinéaires ⟺ l'un est nul ou ils ont la même direction ⟺ ∃k ∈ ℝ : û = kv̂.
Droite de repère (A, û) : ensemble des points M tels que AM⃗ = kû, k ∈ ℝ. Notée D(A, û).
k ∈ [0 ; +∞[ → demi-droite [AB) ; k ∈ [0 ; 1] → segment [AB].
2. Vecteurs orthogonaux
Orthogonaux (û ⊥ v̂) : l'un est nul ou leurs directions sont orthogonales ; deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s'ils sont vecteurs directeurs de droites orthogonales.
3. Vecteurs coplanaires
Plan de repère (A, û, v̂) (û, v̂ non colinéaires) : ensemble des points M tels que AM⃗ = λû + μv̂, (λ ; μ) ∈ ℝ².
Vecteurs coplanaires : û, v̂, ŵ sont coplanaires si des représentants issus d'un même point O donnent des points O, A, B, C dans un même plan.
Caractérisations :
- (û, v̂ non colinéaires) û, v̂, ŵ coplanaires ⟺ ŵ = λû + μv̂ (combinaison linéaire) ;
- û, v̂, ŵ coplanaires ⟺ ∃(λ, μ, ν) ≠ (0,0,0) : λû + μv̂ + νŵ = 0⃗ ;
- û, v̂, ŵ non coplanaires ⟺ λû + μv̂ + νŵ = 0⃗ ⟹ λ = μ = ν = 0.
Remarques : deux vecteurs sont
toujours coplanaires ; si deux des trois vecteurs sont colinéaires → les trois sont coplanaires.
II. Bases et repères
Base de W : tout triplet (ı, ȷ, k⃗) de vecteurs non coplanaires.
Propriété fondamentale : pour tout vecteur û, il existe un unique triplet (x, y, z) : û = xı + yȷ + zk⃗ — ce sont les coordonnées de û dans la base.
Base orthogonale : ı ⊥ ȷ, ı ⊥ k⃗, ȷ ⊥ k⃗.
Base orthonormée : orthogonale + vecteurs unitaires (‖ı‖ = ‖ȷ‖ = ‖k⃗‖ = 1).
Repère (O, ı, ȷ, k⃗) : O origine + une base ; M(x, y, z) ⟺ OM⃗ = xı + yȷ + zk⃗ (x = abscisse, y = ordonnée, z = cote). Repère orthogonal/orthonormé si la base l'est.
Calculs en coordonnées (mêmes règles que dans le plan) :
- û(x ; y ; z) + û′(x′ ; y′ ; z′) = (x+x′ ; y+y′ ; z+z′) ; λû = (λx ; λy ; λz) ;
- AB⃗ = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).
III. Produit scalaire dans l'espace
Définition : avec AB⃗ = û et AC⃗ = v̂ :
• û · v̂ = 0 si l'un des vecteurs est nul ;
• sinon û · v̂ = ‖û‖ × ‖v̂‖ × cos(BÂC).
Autre forme : û · v̂ = ½(‖û + v̂‖² − ‖û‖² − ‖v̂‖²).
Dans une base orthonormée — û(x ; y ; z), v̂(x′ ; y′ ; z′) :
- û · v̂ = xx′ + yy′ + zz′
- ‖û‖ = √(x² + y² + z²)
- AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²)
Orthogonalité ⟺ produit scalaire nul : û ⊥ v̂ ⟺ û · v̂ = 0.
Méthode — vecteur orthogonal à deux vecteurs : poser ŵ(x ; y ; z), écrire le système { ŵ·û = 0 ; ŵ·v̂ = 0 } → 2 équations, 3 inconnues → exprimer deux coordonnées en fonction de la 3ᵉ → ŵ = α(u₀) (droite vectorielle de solutions).
Exemple : ŵ ⊥ BH⃗ et ŵ ⊥ EG⃗ → { −x + y + z = 0 ; x + y = 0 } → ŵ(α ; −α ; 2α).
⚠️ Pièges fréquents :
- Dans un tétraèdre régulier d'arête a : AB⃗·AC⃗ = a²/2 (angle 60°) mais AB⃗·BC⃗ = −a²/2 (angle 120° — attention à l'orientation des vecteurs) ;
- Pour prouver la non-coplanarité : poser λû + μv̂ + νŵ = 0⃗ et montrer que seul (0,0,0) convient via un système ;
- Le produit scalaire n'est pas un vecteur : c'est un nombre réel ;
- Les formules xx′+yy′+zz′ et la norme ne sont valables qu'en base orthonormée.
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