I. Généralités
Suite numérique : toute fonction de ℕ vers ℝ : U : n ↦ U(n) = Uₙ. Uₙ est le terme d'indice n (terme général).
Deux modes de définition :
- Formule explicite : Uₙ = f(n) — chaque terme se calcule directement (ex. Uₙ = 3n + 5) ;
- Formule de récurrence : un premier terme + relation Uₙ₊₁ = f(Uₙ) — chaque terme se calcule à partir du précédent (ex. V₀ = 7 ; Vₙ₊₁ = 2Vₙ − 5).
Représentation graphique (récurrence) : tracer (Cf) et la bissectrice y = x ; projeter U₀ verticalement sur (Cf), horizontalement sur y = x, puis verticalement sur (OI) → U₁, et ainsi de suite.
II. Suites arithmétiques
Définition : (Uₙ) est arithmétique s'il existe r ∈ ℝ tel que ∀n : Uₙ₊₁ = Uₙ + r. r est la raison.
Reconnaissance : calculer Uₙ₊₁ − Uₙ ; si c'est une constante → arithmétique.
Terme général : Uₙ = Uₖ + (n − k)r
Cas particuliers : Uₙ = U₀ + nr ; Uₙ = U₁ + (n−1)r.
Application : U₉ = U₆ + 3r permet de trouver r connaissant deux termes : r = (U₂₀ − U₈)/(20 − 8).
Somme de termes consécutifs :
S = U₁ + U₂ + … + Uₙ = n × (U₁ + Uₙ)/2
Général : Uₖ + … + Uⱼ = (j − k + 1) × (Uₖ + Uⱼ)/2
= nombre de termes × (premier + dernier)/2
Exemples : 1+2+…+2020 = 2020×2021/2 = 2 041 210 ; 1+3+…+(2n+1) = (n+1)².
III. Suites géométriques
Définition : (Uₙ) est géométrique s'il existe q ∈ ℝ tel que ∀n : Uₙ₊₁ = q × Uₙ. q est la raison.
Reconnaissance : calculer Uₙ₊₁/Uₙ ; si c'est une constante → géométrique.
Terme général : Uₙ = qⁿ⁻ᵏ × Uₖ
Cas particuliers : Uₙ = qⁿ U₀ ; Uₙ = qⁿ⁻¹ U₁.
⚠️ Une équation du type V₃ = q²V₁ donne q² = … → deux valeurs possibles pour q (±).
Somme de termes consécutifs (1er terme a, raison q) :
- Si q ≠ 1 : S = U₁ + … + Uₙ = U₁ × (1 − qⁿ)/(1 − q) ;
- Général : Uₖ + … + Uₖ₊ₚ = Uₖ × (1 − qᵖ⁺¹)/(1 − q) ;
- Si q = 1 : S = nombre de termes × Uₖ.
IV. Techniques de l'examen
Suite auxiliaire : pour une suite Uₙ₊₁ = aUₙ + b (ni arithmétique ni géométrique), on introduit souvent Vₙ = Uₙ − c (ou Vₙ = 1/(Uₙ − c)) et on démontre que (Vₙ) est géométrique (ou arithmétique) → terme général de Vₙ → celui de Uₙ.
Exemple : Uₙ₊₁ = ⅓Uₙ + 2, Vₙ = Uₙ − 3 → Vₙ₊₁ = ⅓Vₙ → Vₙ = 6×(⅓)ⁿ → Uₙ = 6×(⅓)ⁿ + 3.
Modélisation :
- Variation constante (+x par période) → suite arithmétique ;
- Variation proportionnelle (±p% par période) → suite géométrique de raison q = 1 ± p/100 (ex. baisse de 3% → q = 0,97).
⚠️ Pièges fréquents :
- Bien compter le nombre de termes : de Uₖ à Uⱼ il y a j − k + 1 termes ;
- Uₙ = an + b → arithmétique (r = a) ; Uₙ = a·qⁿ → géométrique — mais Uₙ = −2/(n+1) n'est ni l'un ni l'autre ;
- Attention au premier terme : si la suite commence à U₁ ou U₂, adapter la formule (Uₙ = U₁ + (n−1)r ou Uₙ = U₂ + (n−2)r) ;
- Une raison géométrique peut être négative ou fractionnaire — vérifier le calcul de q² (deux solutions ±).
Créé par Haniel_dev