I. Systèmes de deux équations dans ℝ²
Système : (S) : { ax + by = c ; a′x + b′y = c′ } avec (a,b) ≠ (0,0) et (a′,b′) ≠ (0,0).
Déterminant : D = |a b ; a′ b′| = ab′ − a′b.
Discussion selon D :
- D ≠ 0 → le système admet une unique solution ;
- D = 0 → aucune solution ou une infinité de solutions (vérifier si un couple solution d'une équation vérifie l'autre).
Formules de Cramer (D ≠ 0) :
Dx = |c b ; c′ b′| = cb′ − c′b ; Dy = |a c ; a′ c′| = ac′ − a′c
x = Dx/D et y = Dy/D
Méthodes de résolution :
- Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans l'autre ;
- Combinaison : multiplier les lignes et les additionner pour éliminer une inconnue ;
- Déterminant : formules de Cramer ci-dessus ;
- Graphique : chaque équation est une droite — la solution est le point d'intersection (sécantes → 1 solution ; parallèles distinctes → 0 ; confondues → ∞).
II. Systèmes de trois équations dans ℝ³
Système linéaire 3×3 : { ax + by + cz = m ; a′x + b′y + c′z = m′ ; a″x + b″y + c″z = m″ }
Système triangulaire : { ax + by + cz = m ; b′y + c′z = m′ ; c″z = m″ } — se résout « en cascade » de bas en haut.
1. Méthode de substitution
Principe : exprimer une inconnue (souvent x) en fonction des autres dans une équation, la remplacer dans les deux autres → système 2×2 en y et z → résoudre → remonter pour x.
2. Méthode du pivot de Gauss
Principe : transformer le système en système
triangulaire par des opérations sur les lignes (Lᵢ ← Lᵢ − kLⱼ) :
- Éliminer x dans L₂ et L₃ en utilisant L₁ (ex. L′₂ = L₂ − 5L₁ ; L′₃ = L₃ − 3L₁) ;
- Éliminer y dans L″₃ en utilisant L′₂ ;
- La dernière ligne donne z → remonter pour y puis x.
Vocabulaire : L₁ est le
pivot. On note (L′ᵢ) = combinaison de lignes.
Cas particuliers : si une ligne obtenue est du type 0 = k (k ≠ 0) → pas de solution ; si elle devient 0 = 0 (lignes proportionnelles) → infinité de solutions.
III. Applications
Mise en équation de problèmes :
- Parabole par 3 points : y = ax² + bx + c passant par 3 points → système 3×3 en (a, b, c) ;
- Concours de 3 droites : résoudre le système de deux équations de droites, puis vérifier si la solution appartient à la troisième ;
- Problèmes concrets : traduire chaque information en une équation (ex. nombre à 3 chiffres : somme des chiffres, permutations → 3 équations en chiffres x, y, z).
⚠️ Pièges fréquents :
- Toujours vérifier la solution en la replaçant dans TOUTES les équations ;
- D = 0 ne veut pas dire « pas de solution » : cela peut être une infinité — il faut trancher ;
- Dans le pivot de Gauss, une erreur de signe dans Lᵢ − kLⱼ fausse tout le calcul : vérifier chaque ligne ;
- Donner la solution sous forme d'ensemble ordonné : S = {(x ; y ; z)} — l'ordre des coordonnées compte.
Créé par Haniel_dev